Чи залежать випадкові величини і ?

Чи можемо ми сказати що-небудь про залежність випадкової величини та функції випадкової величини? Наприклад, чи залежить від ?$X^2$$X$

Ось доказ коментаря @ кардинала невеликим поворотом. Якщо $X$ і $f(X)$ незалежні, тоді

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ Приймаючи$A = f^{-1}(B)$виходить рівняння $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ який має два рішення 0 і 1. Таким чином,$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$ для всіх$B$ . У повній загальності сказати більше неможливо. Якщо$X$ і$f(X)$ є незалежними, то$f(X)$ - це така змінна, що для будь-якого$B$ вона знаходиться або в$B$ або в$B^c$ з вірогідністю 1. Щоб сказати більше, потрібно більше припущень, наприклад, що множини одиночних$\{b\}$ є вимірюваними.

Однак деталі на теоретичному рівні міри, здається, не є основною проблемою ОП. Якщо X справжнє, а f - реальна функція (і , скажімо, ми використовуємо Борель σ -алгебру), то, приймаючи B = ( - ∞ , b ], випливає, що функція розподілу для розподілу f ( X ) приймає лише значення 0 і 1, отже, є b, при якому вона перестрибує від 0 до 1 і P ( f ( X ) = b ) = $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$.

Зрештою, відповідь на питання ОП полягає в тому, що X і f ( X ), як правило, залежні і незалежні лише за дуже особливих обставин. Більше того, міра Дірака δ f ( x ) завжди відповідає умовному розподілу f ( X ), заданому X = x , що є формальним способом сказати, що знаючи X = x, ви також точно знаєте, що f ( X $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$є. Ця особлива форма залежності з виродженим умовним розподілом характерна для функцій випадкових величин.

Лема : Нехай X є випадковою змінною, і f - функція (вимірювана Борелем), така що X і f ( X ) є незалежними. Тоді f ( X ) є постійним майже точно. Тобто є деякий a ∈ R такий, що P ( f ( X ) = a ) = 1 .$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

Доказ нижче; але, по-перше, деякі зауваження. Вимірюваність Бореля - це лише технічний стан, який дозволяє нам призначати ймовірності розумним та послідовним способом. Заява "майже напевно" - це також лише технічність.

Суть леми полягає в тому, що якщо ми хочемо, щоб X і f ( X ) були незалежними, то єдиними нашими кандидатами є функції форми f ( x ) = a .$X$$f(X)$$f(x) = a$

Порівняйте це з випадком функцій F , такі , що X і F ( X ) є некоррелірованнимі . Це набагато, набагато слабший стан. Дійсно, розглянемо будь-яку випадкову величину X із середнім нулем, кінцевим абсолютним третім моментом і симетричною щодо нуля. Візьміть f ( x ) = x 2 , як у прикладі у питанні. Тоді C o v ( X , f ( X ) ) = E X f $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$, so $X$ and $f(X) = X^2$ are uncorrelated.

Below, I give the simplest proof I could come up with for the lemma. I've made it exceedingly verbose so that all the details are as obvious as possible. If anyone sees ways to improve it or simplify it, I'd enjoy knowing.

Idea of proof: Intuitively, if we know $X$, then we know $f(X)$. So, we need to find some event in $\sigma(X)$, the sigma algebra generated by $X$, that relates our knowledge of $X$ to that of $f(X)$. Then, we use that information in conjunction with the assumed independence of $X$ and $f(X)$ to show that our available choices for $f$ have been severely constrained.

Proof of lemma: Recall that $X$ and $Y$ are independent if and only if for all $A \in \sigma(X)$ and $B \in \sigma(Y)$, $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$. Let $Y = f(X)$ for some Borel measurable function $f$ such that $X$ and $Y$ are independent. Define $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$. Then,

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ and since $(-\infty,y]$ is a Borel set and $f$ is Borel-measurable, then $f^{-1}((-\infty,y])$ is also a Borel set. This implies that $A(y) \in \sigma(X)$ (by definition(!) of $\sigma(X)$).

Since $X$ and $Y$ are assumed independent and $A(y) \in \sigma(X)$, then

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ and this holds for all $y \in \mathbb R$. But, by definition of $A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ Combining these last two, we get that for every $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.