Як обчислити довірчий інтервал співвідношення двох нормальних засобів

Я хочу отримати межі для довірчого інтервалу для відношення двох засобів. Припустимо, що і незалежні, середнє відношення . Я намагався вирішити: але це рівняння не вдалося вирішити для багатьох випадків (немає коренів). Я щось роблю не так? Чи є кращий підхід? Спасибі $100(1-\alpha)\%$
$X_1 \sim N(\theta_1, \sigma^2)$ $X_2 \sim N(\theta_2, \sigma^2)$ $\Gamma = \theta_1/\theta_2$

Pr (- z (α / 2)) \leq X_{1} - Γ Х_{2} / σ \sqrt{1 + γ^{2}} \leq z (α / 2)) = 1 - α

$\text{Pr}(-z(\alpha/2)) \leq X_1 - \Gamma X_2 / \sigma \sqrt {1 + \gamma^2} \leq z(\alpha/2)) = 1 - \alpha$

normal-distribution mean

— франкогрекс
джерело

Проблема полягає в тому, що співвідношення двох чисел з двох нормальних розподілів слідує за розподілом Коші, і, отже, дисперсія не визначена.

@mbq - розподіл Коші не створює проблем для довірчих інтервалів, оскільки CDF є функцією зворотної дотичної. Для роботи КІ не потрібно визначати відмінності. І співвідношення двох нормальних RV з нульовим середнім - Коші, але не обов'язково два нормальних RV з ненульовим середнім.

— ймовірністьлогічний

@ probabilityislogic Звичайно, я повинен перестати намагатися думати в неділю вранці.

Відповіді:

Метод Філлера робить те, що ви хочете, - обчислює довірчий інтервал для коефіцієнта двох засобів, обидва вважаються вибіреними з Гауссових розподілів.

Оригінальне цитування: Fieller EC: Біологічна стандартизація інсуліну. Suppl до JR Statist Soc 1940, 7: 1-64.
Стаття у Вікіпедії робить добру справу підбиття підсумків.
Я створив онлайн-калькулятор, який робить обчислення.
Ось сторінка, що підсумовує математику з першого видання моєї інтуїтивної біостатистики

— Харві Мотульський
джерело

Це дуже хороші посилання, мені також подобається, що ви насправді зробили для нього калькулятор (+1). Як і очікувалося, у своєму калькуляторі ви чітко зазначаєте, що коли довірчий інтервал знаменника включає нуль, неможливо обчислити ІС коефіцієнта. Я думаю, що це те саме, що відбувається, коли я намагаюся розв’язати квадратичне рівняння. припустимо, дисперсія дорівнює 1, mu1 = 0 і mu2 = 1, N = 10000. Це нерозв'язно.

— francogrex

дякую за онлайн-калькулятор Харві, я типовий біолог з недостатньою статистикою, і ваш калькулятор був саме тим, що мені потрібно.

— Тімтіко

Дивовижний калькулятор - саме те, що я шукав. Спасибі

— Олександр

@ harvey-motulsky посилання на додаток більше не працює. Мені було цікаво, чи включений матеріал із цього додатка до третього видання інтуїтивної біостатистики?

— Габріель Південний

@GabrielSouthern Дякую за вказівку на гниття посилання. Виправлено.

— Харві Мотульський

R має пакет mratiosз функцією t.test.ratio.

Gemechis Dilba Djira, Mario Hasler, Daniel Gerhard та Frank Schaarschmidt (2011). mratios: умовиводи відношення коефіцієнтів у загальній лінійній моделі. Версія пакету R 1.3.15. http://CRAN.R-project.org/package=mratios

Дивіться також http://www.r-project.org/user-2006/Slides/DilbaEtAl.pdf

— Алессандро Джекопсон
джерело

Крім того, якщо ви хочете вирахувати довірчий інтервал Fieller не використовуючи mratios(як правило, тому, що ви не хочете, щоб простий lm підходив, але, наприклад, glmer або glmer.nb fit), ви можете використовувати наступну FiellerRatioCIфункцію, моделюючи вихід моделі, aname ім'я параметра чисельника, bname ім'я параметра знаменника. Ви також можете безпосередньо використовувати функцію FiellerRatioCI_basic, що дає a, b та матрицю коваріації між a і b.

Зауважте, альфа тут дорівнює 0,05 і "жорстко кодується" в 1,96 в коді. Ви можете замінити їх будь-яким рівнем студентів.

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

Приклад (заснований на стандартному прикладі glm):

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")

ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574

— cmbarbu
джерело