Приклад розповсюдження важкого хвоста, який не є довгохвостим

З читання про дистрибуцію важких та довгохвостих я зрозумів, що всі довгохвості дистрибуції є хвостатими з великим хвостом , але не всі розподіли з великим хвостом .

Чи можете хтось надати приклад:

функція безперервної, симетричної нульової середньої щільності, яка має довгий хвіст
функція безперервної, симетричної, нульової середньої щільності, яка має великі хвости, але не мають довгохвостих

тож я можу краще зрозуміти значення їх визначень?

Було б навіть краще, якби обидва могли мати дисперсію одиниці.

distributions heavy-tailed

— толівейра
джерело

Де ви знайшли ці визначення? Ви можете їх дати тут? Я думав про це як синоніми!

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen: Можливо, тут: en.wikipedia.org/wiki/…

— Scortchi - Reinstate Monica

@kjetilbhalvorsen SA: Дивіться, посилання E. LA: Я вивчав визначення розподілів "важких", "жирових" та "довгохвостих", і знайшов корисні пояснення в: (A) [ stats.stackexchange.com/ питання / 10726 /… , (B) [ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] , (C) [ users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/… , (продовження)

— toliveira,

(продовження) (E) math.stackexchange.com/questions/685921/… Я зрозумів, що (i) важкохвостий розподільник визначений як у A, B, C, D, E, (ii) визначений довгохвостий розподільник як у B, C, E (iii) визначення жирного хвоста є вільним, як пояснено в А.

— toliveira

Два визначення близькі, але не зовсім однакові. Одна відмінність полягає в необхідності встановлення межі співвідношення виживання.

Більшу частину цієї відповіді я ігнорую критерії розподілу, щоб бути безперервним, симетричним та кінцевим дисперсією, тому що це легко здійснити, коли ми знайшли будь - яку кінцеву дисперсію важкохвостого розподілу, яка не є довгохвостою.

Розподіл є важким хвостом , коли для будь-якого , $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

Розподіл з функцією виживання - це довгохвостий, коли $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

Довгохвості розподіли важкі. Крім того, оскільки не збільшується, межа відношення не може перевищувати . Якщо вона існує і менша за , то зменшується експоненціально - і це дозволить інтегралу сходитися. $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

Єдиний спосіб проявити розподіл з великим хвостом, який не є довгохвостим, - це змінити розподіл з довгохвостими таким чином, щоб продовжував утримуватись при порушенні . Легко накрутити межу: змінити її в нескінченно багатьох місцях, які розходяться до нескінченності. Однак це потребує певних дій з , які повинні залишатися зростаючими і кадрами. Один із способів - ввести кілька стрибків вгору в , що змусить стрибати вниз, знижуючи відношення . Для цього давайте визначимо перетворення яке перетворює в іншу дійсну функцію розподілу, створюючи при цьому раптовий стрибок значення $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ $T_u$ $F$ $u$ , скажімо, стрибок на півдорозі від до : $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

Це не змінює жодної основної властивості : як і раніше, є функцією розподілу. $F$ $T_u[F]$

Ефект від полягає в тому, щоб він на коефіцієнт в . Тому, оскільки не зменшується, то, коли , $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

Якщо ми виберемо послідовність , , що збільшується і розходяться , і застосовуємо послідовно кожну , вона визначає послідовність розподілів з і $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

для . Після кроку , залишаються однаковими для . Отже, послідовність є не зменшуваною, обмеженою, точковою послідовністю функцій розподілу, що передбачає її межу $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

є функцією розподілу. За конструкцією він не є довгохвостим, оскільки існує нескінченно багато точок, у яких його коефіцієнт виживання падає на або нижче, показуючи, що вона не може мати як обмеження. $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

Цей графік показує функцію виживання , яка була розрізана таким чином у точках Зверніть увагу на логарифмічну вертикальну вісь. $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

Сподіваємось на те, щоб мати можливість вибрати щоб залишався важкохвостим. Ми знаємо, оскільки важкохвостий, що є числа для яких $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

для кожного . Причиною праворуч є те, що ймовірності, призначені значеннями до , послідовно скорочувались вдвічі рази. Ця процедура, коли буде замінена для будь-якого , зменшить до , але не нижче. $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

Це графік для густин відповідає попередній функції виживання та її "скороченій" версії. Площі під цією кривою сприяють очікуванню. Площа від до дорівнює ; площа від до дорівнює , яка при скороченні (до нижньої синьої частини) стає площею ; площа від до дорівнює , яка при вирубці стає площею і так далі. Таким чином, площа під кожним наступним «сходовим кроком» праворуч дорівнює . $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ $1$

Виберемо таку послідовність щоб визначити . Ми можемо перевірити, чи він залишається великим хвостом, вибравши для деякого цілого числа та застосувавши конструкцію: $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

яка все ще розходиться. Оскільки довільно невелике, це свідчить про те, що залишається важкохвостим, навіть незважаючи на те, що його властивість довгохвостих було знищено. $t$ $F_\infty$

Це графік співвідношення виживання для розподілу, що випадає. Як і відношення вихідного , воно прагне до верхнього значення накопичення -, але для інтервалів ширини одиниці, що закінчується на , коефіцієнт раптом опускається лише до половини того, що було спочатку. Ці краплі, хоча стають все рідше і рідше, оскільки збільшується, трапляються нескінченно часто, тому запобігають наближенню співвідношення до в межах. $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

Якщо ви хочете безперервний, симетричний, нульовий середній, одиничний дисперсійний приклад, почніть з розподілу кінцевої дисперсії з довгими хвостами. (для ) буде робити, за умови ; так би було розподілу студента t для будь-якого ступеня свободи, що перевищує . Моменти не можуть перевищувати моменти , звідки він теж має кінцеву дисперсію. "Моліфікуйте" це за допомогою згортки з гарним плавним розподілом, наприклад, гаусса: це зробить його безперервним, але не знищить його важкий хвіст (очевидно), а також відсутність довгого хвоста (не зовсім очевидний, але це стане очевидним, якщо ви змінюєте гауссова, скажімо, бета-версію, підтримка якої компактна). $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$

Симетризуйте результат - який я все одно буду називати визначення $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

для всіх . Його дисперсія залишиться кінцевою, тому її можна стандартизувати до потрібного розподілу. $x\in\mathbb{R}$

— дзижчати
джерело

Блискуче пояснив. Ви запропонували не просто приклад, а й обґрунтування цього. Чіткість пояснення дозволила мені зрозуміти (майже) все це. Я буду практикувати це на деяких числових прикладах.

— toliveira