Чому так називається "від'ємна біноміальна" випадкова величина?

21

Я не розумію, чому "негативна двочленна" випадкова величина має таку назву. Що в цьому негативного? Що в цьому двочленні? Що в цьому негативно-двочленного?

— Хатшепсут
джерело

2

Також дивіться коментарі під цим більш загальним запитанням - що справді заслуговує на належну відповідь, mea culpa .

— Glen_b -Встановіть Моніку

24

Це посилання на той факт, що певний біноміальний коефіцієнт, який відображається у формулі для цього розподілу, може бути записаний простіше з від'ємними числами.

Коли ви проводите серію експерименту з імовірністю успіху $p$ , ймовірність того, що ви побачите $r$ невдачі після рівно $k$ випробувань,

. ${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

Це також можна записати як

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

а слово "негатив" позначає це у цьому двочленному коефіцієнті. Поспостерігайте, як ця формула виглядає так само, як формула звичайного біноміального розподілу, за винятком цього знакового коефіцієнта. $−r$

Інша назва негативного біноміального розподілу - розподіл Паскаля, тому є і це.

===================================================== ========================

Більш детальна відповідь згідно Вікіпедії:

Функція масової ймовірності негативного біноміального розподілу є

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Тут кількість в дужках є двочленним коефіцієнтом і дорівнює

. $\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$

Цю кількість альтернативно можна записати наступним чином, пояснюючи назву "негативний двочлен":

. $\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$

3

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

@DW Це була невдала формулювання. Що мається на увазі, це не вірогідність побачити

r

$r$ невдачі враховуючи це

k

$k$ дослідження були проведені, але ймовірність виникнення необхідності

k

$k$ випробування з метою спостереження

r

$r$ невдачі.

— амеба каже, що поверніть Моніку

-4

Розпізнавачі StatsExchange. По-перше, гарна новина, цей автор копіює формулу Вікіпедії, щоб там все було добре. Опис, яку написав цей автор, було невірним. Він повинен був записати ймовірність отримання r відмов після k + r слідів.
Зверніть увагу, що в перших випробуваннях k + r-1 є рівно невдачі r-1 і k успіхи. Отже, формула правильно включає (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Тоді, за визначенням, остаточне випробування, а саме k + r-й судовий розгляд, повинно бути першим провалом. Ця подія є незалежною, тому ми просто помножимо її ймовірність 1-p, щоб знайти заявлену ймовірність.

— Шон Беррі
джерело

Ласкаво просимо до Stats.SE. Скористайтеся можливістю взяти тур ( stats.stackexchange.com/tour ), якщо ви цього ще не зробили. Дивіться також кілька порад щодо форматування довідки та записуйте рівняння за допомогою LaTeX / MathJax .

— Ertxiem