Які є "бажані" статистичні властивості тесту на коефіцієнт ймовірності?

Я читаю статтю , метод якої повністю заснований на тесті коефіцієнта ймовірності. Автор каже, що тест LR проти однобічних альтернатив - це UMP. Він продовжує, стверджуючи, що

"... навіть коли це [тест LR] не може бути показаний рівномірно найпотужнішим, тест LR часто має бажані статистичні властивості."

Мені цікаво, що тут мають на увазі статистичні властивості. Зважаючи на те, що автор посилається на тих, хто проходить мимо, я припускаю, що вони є загальновідомими серед статистиків.

Єдиною бажаною властивістю, яку мені вдалося знайти досі, є асимптотичний розподіл chi-квадрата (за деяких умов регулярності), де - коефіцієнт LR.$-2 \log \lambda$$\lambda$

Я також буду вдячний за посилання на класичний текст, де можна прочитати про ці бажані властивості.

Можливо, буде добре прочитати Що далі, якщо ми не зможемо відкинути нульову гіпотезу? перед поясненням нижче.

Бажані властивості: потужність

При тестуванні гіпотез мета - знайти «статистичні докази» для . Тим самим ми можемо робити помилки типу I, тобто відкидаємо (і вирішуємо, що є докази на користь ), тоді як був істинним (тобто - помилковим). Отже, помилка типу I - це «пошук неправдивих доказів» для .H 0 H 1 H 0 H 1 H $H_1$$H_0$$H_1$$H_0$$H_1$$H_1$

Помилка типу II робиться, коли не можна відхилити, хоча вона насправді помилкова, тобто ми "приймаємо " і ми "пропускаємо" докази .H 0 H $H_0$$H_0$$H_1$

Імовірність помилки I типу позначається через , обраний рівень значущості. Імовірність помилки II типу позначається як а називається силою тесту, це ймовірність знайти докази на користь коли є істинним.β 1 - β H 1 H $\alpha$$\beta$$1-\beta$$H_1$$H_1$

Під час тестування статистичної гіпотези вчений фіксує верхній поріг ймовірності помилки I типу і під цим обмеженням намагається знайти тест з максимальною потужністю, заданий .$\alpha$

Бажані властивості випробувань на коефіцієнт ймовірності пов'язані з потужністю

У тесті гіпотези проти нульова гіпотеза та альтернативна гіпотеза називаються "простими", тобто параметр фіксується на одне значення так само, як і підH 1 : θ = θ 1 H $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta = \theta_1$$H_0$$H_1$

$\alpha$$H_1$

$H_0: \theta = \theta_1$$H_1: \theta > \theta_1$$H_1$$H_1$$H_1$

Існує теорема Карліна та Рубіна, яка дає необхідні умови, щоб тест на коефіцієнт ймовірності був рівномірно найбільш потужним. Ці умови є повноцінними для багатьох однобічних (одноманітних) тестів.

Тож бажана властивість тесту на коефіцієнт ймовірності полягає в тому, що в кількох випадках він має найвищу потужність (хоча і не у всіх випадках).

У більшості випадків наявність тесту на UMP не може бути показана, і у багатьох випадках (особливо багатоваріантних) може бути показано, що тест на UMP не існує. Тим не менш, у деяких із цих випадків тести на коефіцієнт ймовірності застосовуються через їх бажані властивості (у вищезгаданому контексті), оскільки вони відносно прості у застосуванні, а іноді тому, що ніяких інших тестів неможливо визначити.

Як приклад, однобічний тест, заснований на стандартному нормальному розподілі, є UMP.

Інтуїція за тестом на коефіцієнт ймовірності:

$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta = \theta_1$$o$

$H_0$$H_1$$o$$H_0$$L_0$$o$$H_1$$L_1$

$L_1 > L_0$$H_1$$\frac{L_1}{L_0} > 1$$H_1$$H_0$

$\frac{L_1}{L_0}$$1.001$$\frac{L_1}{L_0}$

Я знайшов цей pdf в Інтернеті.