Доведення послідовності зменшується (підтримується побудовою великої кількості точок)

Багато питань, які я опублікував у минулому місяці щодо SE, мали на меті допомогти мені вирішити цю конкретну проблему. На всі питання відповіли, але я все ще не можу знайти рішення. Отже, я подумав, що треба просто задати проблему, яку я намагаюся вирішити безпосередньо.

Дозволяє $X_n \sim F_n$, де $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$, $F_0 = x$, $c\geq 2$ (ціле число), і кожен $F_n$ є в форматі PDF $(0,1)$.

Я хочу це довести $\mathbb{E}X_n$ зменшується при $n$ для усіх $c$ (або навіть для будь-якого конкретного) $c$)! Я можу це показати$F_n$ сходиться до маси Дірака при унікальному рішенні до $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ Для $c=2$, $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$. Переглядаючи сюжет cdfs для збільшення$n$для того ж $c$, всі cdfs перетинаються на $x_n$. Значення$F(x)$ зменшується для значень $x$ менше, ніж $x_n$ і збільшується для значень $x$ більше, ніж тоді $x_n$ (як $n$ збільшується) перехід до вертикальної лінії на $x_n$.

Нижче наведено сюжет $\mathbb{E}X_n$ для $n = 1$ до $40$ для $c = 2$ до $7$. Це, звичайно, дискретний сюжет, але у мене поєднані лінії для зручності перегляду. Для створення цього сюжету я використав NIntegrate в Mathematica, хоча мені це потрібно було зробити$1-F^{-1}_n$, оскільки чомусь Mathematica не міг генерувати відповіді на високі значення $n$для вихідної функції. Дві мають бути рівнозначними, згідно з теоремою Юнга,$\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$. У моєму випадку$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$, $F^{-1}_n = x$.

Як бачите, $EX_n$ рухається дуже швидко на хвилину відстані від своєї фіксованої точки $x_c$. Як$c$ збільшується, фіксована точка зменшується (врешті-решт піде до 0).

Отже, це, звичайно, ВІДПОВІДЕ, що це правда $EX_n$ зменшується при $n$ для усіх $c$. Але я не можу цього довести. Хтось може мені допомогти? (знову ж, я був би дещо задоволений навіть одним синглом$c$) І якщо ви не можете, але ви розумієте, чому ця конкретна проблема може бути нерозв’язною, будь ласка, поділіться цим розумінням.

На це в МО відповів П'єтро Маєр тут .