Розглянемо подвійно диференційований і симетричний розподіл . Тепер розглянемо друге вдвічі диференційоване розподіл rigth, перекошене в тому сенсі, що: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

де - це опуклий порядок ван Zwet [0], так що еквівалентний: $\preceq_c$ $(1)$

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Розглянемо тепер третій вдвічі диференційований розподіл задовольняє: $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Моє запитання: чи завжди ми можемо знайти розподіл та симетричний розподіл щоб переписати будь-який (усі три визначені вище) з точки зору складу і як: $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

чи ні?

Редагувати:

Наприклад, якщо - Weibull з параметром форми 3.602349 (таким чином, щоб він був симетричним), а - розподіл з параметром форми 3/2 (так, щоб він був правильно перекошений), я отримав $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

встановивши як розподіл Вейбула з параметром форми 2.324553. Зауважте, що всі три дистрибутиви задовольняють: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ як потрібно. Цікаво, чи правда це взагалі (за заявлених умов).

[0] van Zwet, WR (1979). Середня, медіана, II режим (1979). Statistica Neerlandica. Том 33, випуск 1, сторінки 1--5.

distributions skewness

— user603
джерело

Ні!

Простий зустрічний приклад надається розподілом Tukey (особливий випадок розподілу Tukey і ). $g$ $h=0$ $g$ $h$

Наприклад, нехай є Tukey з параметром і - Tukey з параметром і розподілом Tukey для якого . Оскільки , то три розподіли задовольняють: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(перший походить від визначення Tukey яке є симетричним, якщо , наступне з [0], теорема 2.1 (i)). $g$ $g=0$

Наприклад, для ми маємо, що: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(чомусь, мабуть, мінімум завжди знаходиться біля ). $g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray Форма властивостей родин g-and-h та Johnson. Comm. Статист. - Теоретичні методи, 21 (5) (1992), стор 1233–1250

Редагувати:

Що стосується Вейбула, то твердження справедливо:

Нехай - розподіл Вейбулла з параметром форми (параметр шкали не впливає на опуклу впорядкованість, тому ми можемо встановити його на 1 без втрати загальності). Аналогічно , і і . $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

Спочатку зауважте, що будь-які три розподіли Weibull завжди можна впорядкувати в значенні [0].

Далі зауважте, що:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Тепер для Weibull:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

так що

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

з тих пір

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

Тому претензію завжди можна задовольнити, встановивши . $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Середня, медіана, II режим (1979). Statistica Neerlandica. Том 33, випуск 1, сторінки 1--5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Колючість для родини вейбулів. Statistica Neerlandica. Том 40, Випуск 3, сторінки 135–140.

— user603
джерело

Чи можемо ми завжди переписати правильний косий розподіл з точки зору складу довільного та симетричного розподілу?

Редагувати:

Редагувати: