Розрахунок канонічної функції зв'язку в GLM

Я думав, що канонічна функція зв'язку походить від природного параметра родини експонентів. Скажімо, розглянемо сімейство тоді - це функція канонічного зв'язку. Візьмемо для прикладу розподіл Бернуллі , маємо Отже, канонічна функція зв'язку$g(\cdot)$

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Але коли я бачу цей слайд , він стверджує, що Хоча його можна легко перевірити для цього конкретного розподілу (та деяких інших розподілів, як-от розподіл Пуассона), Я не бачу еквівалентності для загального випадку. Хтось може дати підказки? Дякую ~

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$

Функцією дисперсії для змінної Бернуллі є . Ми легко перевіримо, що за допомогою канонічного посилання то $V(\mu) = \mu(1-\mu)$$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

У загальному випадку випливає з визначення, що див., наприклад, сторінку 28-29 у McCullagh та Nelder . З канонічного зв’язку маємо , а функцію дисперсії визначаємо як , яка з точки зору стає Диференціюючи тотожність отримуємо

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

При побудові функцій квазі-правдоподібності природно почати з співвідношенням між середнім і дисперсією, заданої в термінах функції дисперсії . У цьому контексті анти-похідне від можна інтерпретувати як узагальнення функції зв'язку, див., Наприклад, визначення квазіімовірності (log) на сторінці 325 (формула 9.3 ) у McCullagh та Nelder . $V$$V(\mu)^{-1}$