Парадокс престижного фокусника

Ви, напевно, знаєте хитрість у фільмі Престиж :

[MOVIE SPOILER] Чарівник знайшов вражаючу магічну хитрість: він заходить в автомат, закриває двері, а потім зникає і знову з’являється в іншій частині кімнати. Але машина не досконала: замість того, щоб просто телепортувати його, вона дублює його. Маг залишається там, де він є, а копія створюється з іншого боку кімнати. Потім фокусник у машині непомітно падає у ємність з водою під підлогою і заглушається. Редагувати: Ймовірність того, що нова копія чарівника заглушиться, становить 1/2 (іншими словами, нова копія має 1/2 шансів бути утопленою, і 1/2 шанси потрапити в кімнату). Крім того, бак для води ніколи не виходить з ладу, і шанси становлять 1, що чарівник, що потрапляє в бак, гине.

Тож фокусник не дуже любить робити цю хитрість, бо "ти ніколи не знаєш, де ти будеш, з іншого боку кімнати чи потонув".

Зараз парадокс такий: уявіть, що фокусник виконує трюк 100 разів. Які його шанси вижити?

Редагувати, додаткове запитання: Які шанси чарівника зберегти свій фізичний мозок і не мати нового?

Швидкий аналіз: В одній руці живий один чарівник, і 100 потоплених чарівників, тому його шанси - 1 на 100.

З іншого боку, кожен раз, коли він робить трюк, у нього є 1/2 шансів залишитися живим, тому його шанси залишитися в живих.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Яка правильна відповідь і чому?

Ця помилка була зафіксована в письмових розмовах серед Ферма, Паскаля та видатних французьких математиків у 1654 р., Коли перші двоє розглядали "проблему балів". Простий приклад:

Двоє людей грають на результат двох обертів справедливої ​​монети. Гравець A виграє, якщо будь-який фліп є головою; інакше Гравець В виграє. Які шанси гравця B на перемогу?

Помилковий аргумент починається з вивчення набору можливих результатів, які ми можемо перерахувати:

1. Н : Перший фліп - це голови. Гравець A виграє.
2. TH : Тільки другий фліп - це голови. Гравець A виграє.
3. TT : Жоден фліп не є головами. Гравець В перемагає.

Оскільки у гравця A є два шанси на перемогу, а B - лише один шанс, шанси на користь B становлять (відповідно до цього аргументу) 1: 2; тобто шанси B - 1/3. Серед тих, хто відстоював цей аргумент, був Джил Персоне де Роберваль , член-засновник Французької академії наук.

Помилка сьогодні нам очевидна, адже нас просвітили люди, які дізналися з цієї дискусії. Фермат стверджував (правильно, але не дуже переконливо), що випадок (1) справді повинен розглядатися як два випадки, як ніби гра була проведена через обидва обертання, незважаючи ні на що. Викликання гіпотетичної послідовності фліп, яка насправді не розігрувалась, робить багатьох людей непростими. Сьогодні нам може бути переконливішим лише визначити ймовірність окремих випадків: шанс (1) дорівнює 1/2, а шанси (2) і (3) - кожен 1/4, звідси ймовірність того, що A виграш дорівнює 1/2 + 1/4 = 3/4 і шанс виграти B - 1/4. Ці розрахунки спираються на аксіоми ймовірності, які були остаточно врегульовані на початку 20 століття, але, по суті, були встановлені восени 1654 року Паскалем і Ферматом і популяризовані по всій Європі через три роки Крістіаном Гюйгенсом у своєму короткому трактаті про вірогідність (перший коли-небудь опубліковані), De ratiociniis in ludo aleae (обчислення в азартних іграх).

Справжнє запитання може бути змодельоване як 100 монет перевернути, з головами, що представляють смерть, а хвости - на виживання. Аргумент «1 на 100» (який, до речі, повинен бути 1/101) має точно такий же недолік.

Однією рукою є один чарівник живий, а 100 утоплених магів, тож його шанси - 1 на 100.

Це міркування неявно передбачає, що кожен фокусник з однаковою ймовірністю може бути тим, хто вижив в кінці процесу. Однак тільки оригінал повинен був би пережити всі 100 випробувань, і він матиме найгірші шанси. Контрастуйте оригіналу з останнім клоном, який ви створюєте; йому потрібно вижити лише один раз, і у нього є шанс 1: 2 стати самотнім.

Притворіться, що замість клонів ми маємо справу з турніром з одиночної елімінації (як відомий турнір з баскетболу NCAA кожного березня). Оригінал повинен тривати 100 раундів, тоді як останній клон повинен грати лише у фіналі турніру. Не всі клони мають однакову ймовірність до кінця, і оригінал має найгірші шанси$\frac{1}{2^{100}}$.

Ймовірність, що він виживає, становить 1 на кожному випробуванні, а ймовірність - 1, що він гине під час кожного випробування (незважаючи на несправність резервуара з водою). Після дублювання більше немає його «; є "його".