Яка ймовірність я походити від конкретної людини, народженої в 1300 році?

26

Іншими словами, виходячи з наступного, що таке p?

Для того, щоб зробити це математичною проблемою, а не антропологією чи суспільствознавством, а також спростити проблему, припустимо, що товаришів обирають з однаковою ймовірністю для всієї сукупності, за винятком того, що брати і сестри та перші родички ніколи не спарюються, а товариші завжди вибираються з одного і того ж покоління.

$n_1$ - початкове населення
$g$ - кількість поколінь.
$c$ - середня кількість дітей на пару. (Якщо потрібно для відповіді, припустимо, що у кожної пари є рівно однакова кількість дітей.)
$z$ - відсоток людей, які не мають дітей і яких не вважають частиною пари.
$n_2$ - кількість населення в кінцевому поколінні. ( Потрібно вказати або або , і (я думаю) інше можна обчислити.) $n_2$ $z$
$p$ - ймовірність того, що хтось у кінцевому поколінні буде нащадком конкретної людини в початковому поколінні.

Ці змінні, звичайно, можна змінювати, опускати або додавати. Я припускаю для простоти, що і не змінюються з часом. Я усвідомлюю, що це дасть дуже приблизну оцінку, але це відправна точка. $c$ $z$

Частина 2 (пропозиція щодо подальших досліджень):

Як ви можете вважати, що товариші не вибираються з глобально однаковою ймовірністю? Насправді товариші мають більшу ймовірність того ж географічного району, соціально-економічного походження, раси та релігійного походження. Не вивчаючи реальної ймовірності для цього, як би змінювались змінні для цих факторів? Наскільки це було б важливо?

probability stochastic-processes genetics

— xpda
джерело

2

це питання домашнього завдання? Інакше, що таке контекст?

— Девід Лебоуер

1

@John: Дякуємо за вашу редакцію. Я вважаю, що існує консенсус (на цьому веб-сайті та інших), що ми не редагуємо питання, щоб просто додати homeworkтег. Краще всім залученим дозволити ОП це зробити. Можливо, вам буде цікава ця мета-нитка, якщо ви її ще не бачили.

— кардинал

Мені просто цікаво. Я не студент, і це не чиєсь домашнє завдання. Я просто жартував про додатковий кредит, хоча бачу, як це означатиме домашнє завдання.

— xpda

3

Щоб отримати початковий сенс відповідей, розглянемо частка населення, яка не походить за певним предком за походженням. Спочатку для населення . При випадковому змішуванні складається в квадрат після кожного покоління. Скажімо, в початковій чисельності , це означає, що майже напевно після поколінь (приблизно - років).

f

$f$

f = (n - 1) / n

$f = (n-1)/n$

n

$n$

f

$f$

n = 10^{8}

$n=10^8$

f

$f$

0

$0$

32

$32$

600

$600$

800

$800$

— whuber

1

Я вважаю, що є кілька академічних досліджень щодо ймовірності вимирання унікального прізвища. Хоча це не тотожно поставленої проблеми, це може дати цікаве розуміння (але, на жаль, я не можу згадати, звідки це). Як не дивно, я вважаю, що ці дослідження привели до певного розуміння математики поширення інфекційних хвороб ...

— Майкл МакГоуан

13

Оскільки на це запитання отримують відповіді, які варіюються від астрономічно малої до майже 100%, я хотів би запропонувати моделювання, яке слугуватиме орієнтиром та натхненням на покращення рішень.

Я називаю ці "сюжетні полум'я". Кожен з них документує дисперсію генетичного матеріалу в межах популяції, оскільки він відтворюється в окремих поколіннях. Сюжети - це масиви тонких вертикальних сегментів із зображенням людей. Кожен рядок являє собою покоління, а початкове - вгорі. Нащадки кожного покоління стоять в ряді безпосередньо під ним.

На початку лише одна людина в популяції розміром позначена і відображається як червона. (Це важко помітити, але вони завжди накреслені праворуч від верхнього ряду.) Їх прямі нащадки так само намальовані червоним кольором; вони виявляться в абсолютно випадкових положеннях. Інші нащадки зображені як білі. Оскільки розміри населення можуть змінюватись від одного покоління до наступного, сіра рамка праворуч використовується для заповнення порожнього простору. $n$

Ось масив з 20 незалежних результатів моделювання.

Полум'я сюжети

Червоний генетичний матеріал врешті-решт вимер у дев'яти цих моделюваннях, залишившись у живих у решті 11 (55%). (За одним сценарієм, що знаходиться внизу ліворуч, схоже, все населення в підсумку вимерло.) Де б не було вижили, хоча майже все населення містило червоний генетичний матеріал. Це свідчить про те, що шанс випадково вибраного індивіда з останнього покоління, що містить червоний ген, становить приблизно 50%.

Моделювання працює шляхом випадкового визначення виживаності та середньої народжуваності на початку кожного покоління. Виживання виживається з бета-версії (6,2): вона становить 75%. Це число відображає як смертність до повноліття, так і людей, які не мають дітей. Коефіцієнт народжуваності базується на розподілі гамма (2,8, 1), тому він становить в середньому 2,8. Результат - жорстока історія недостатньої репродуктивної здатності компенсувати загалом високу смертність. Він представляє надзвичайно песимістичну, найгіршу модель - але (як я підказав у коментарях) здатність населення зростати не є істотним. Важливе значення для кожного покоління - це частка червоного кольору серед населення.

Для моделювання відтворення поточна сукупність зменшується до тих, хто вижив, шляхом простого випадкового зразка потрібного розміру. Ці вижили випадкові пари (будь-який непарний виживший, що залишився після спарювання, не може відтворитись). Кожна пара виробляє кількість дітей, отриманих із розповсюдження Пуассона, середнє значення - рівень народжуваності покоління. Якщо будь-який з батьків містить червоний маркер, усі діти його успадковують: це моделює ідею прямого спуску через будь-якого з батьків.

Цей приклад починається з популяції 512 і запускає моделювання для 11 поколінь (12 рядків, включаючи початок). Варіації цього моделювання, починаючи з і цілих людини, використовуючи різні кількості виживаних та народжуваності, всі мають схожі характеристики: до кінця поколінь ( дев'ять у цьому випадку), існує приблизно 1/3 шансу, що всі червоні вимерли, але якщо цього не сталося, то більшість населення червоніє. Протягом двох-трьох більше поколінь майже все населення червоніє і залишатиметься червоним (інакше населення повністю вимирає). $n=8$ $2^{14} = 16,384$ $\log_2(n)$

До речі, виживаність 75% чи менше в поколінні, до речі, не химерна. Наприкінці 1347 р. Щури, заражені бубонною чумою, вперше пробралися з Азії в Європу; протягом наступних трьох років внаслідок цього померло десь від 10% до 50% європейського населення. Чума повторювалась майже один раз у покоління протягом сотень років після цього (але зазвичай не з такою ж крайньою смертністю).

Код

Моделювання було створено за допомогою Mathematica 8:

randomPairs[s_List] := Partition[s[[Ordering[RandomReal[{0, 1}, Length[s]]]]], 2];

next[s_List, survive_, nKids_] := Flatten[ConstantArray[Max[#], 
   RandomVariate[PoissonDistribution[nKids]]] & /@ 
   randomPairs[RandomSample[s, Ceiling[survive Length[s]]]]] 

Partition[Table[
   With[{n = 6}, ArrayPlot[NestList[next[#, RandomVariate[BetaDistribution[6, 2]], 
        RandomVariate[GammaDistribution[3.2, 1]]] &, 
        Join[ConstantArray[0, 2^n - 1], ConstantArray[1, 1]], n + 2], 
     AspectRatio -> 2^(n/3)/(2 n), 
     ColorRules -> {1 -> RGBColor[.6, .1, .1]},  
     Background -> RGBColor[.9, .9, .9]]
    ], {i, 1, 20}
   ], 4] // TableForm

— дзижчати
джерело

1

Я думаю, що подібне моделювання може бути найкращим підходом. Це набагато простіше і веселіше (для мене), ніж математика, і це повинно значно полегшити введення факторів, що обмежують вибір матерів. Чи є у вас які-небудь рекомендації, застереження чи інші поради, перш ніж я зануриться з цього питання?

— xpda

3

@xpda Математичні рішення дадуть зрозуміти, що має значення, а що ні. Наприклад, вони покажуть, що вам не обов’язково потрібно моделювати величезну кількість населення. Вони також вкажуть на роль, яку відіграє мінливість, яку важче обробляти аналітично і виходить на перший план у моделюванні.

— whuber

1

@whuber Ви запускали моделювання в Mathematica? Ви б не заперечували над публікацією коду?

— припускаєтьсянормальне

1

@Max Код зараз увімкнено. Прошу вибачення за відсутність коментарів. При запуску кожного з randomPairsі nextна тестових даних, їх функції повинні стати очевидними. Зверніть увагу на використання NestListповторень nextдля отримання декількох поколінь.

— whuber

3

Що відбувається, коли ви намагаєтеся рахувати предків?

У вас є 2 батьки, 4 бабусі і дідусі, 8 прабабусь і дідусів, ... Отже, якщо ви повернетеся до поколінь, то у вас є предки. Припустимо, середня тривалість покоління - років. Тоді налічувалося близько поколінь з 1300 року, що дає нам приблизно 268 мільйонів предків на той час. $n$ $2^n$ $25$ $28$

Це правильний балпарк, але в цьому розрахунку щось не так, тому що населення Землі 1300 року не змішувалося рівномірно, і ми ігноруємо шлюб у вашому прабатьківському "дереві", тобто ми подвоюємо деякі предки.

І все-таки, я думаю, це може призвести до правильної верхньої межі ймовірності того, що випадково вибрана людина в 1300 році є вашим предком, взявши відношення до населення 1300 року $2^{28}$

— vqv
джерело

2

Дуже вагомі, враховуючи багато населення тоді, були досить ізольованими один від одного, тому було набагато менше можливостей уникнути шлюбів.

— dcl

2

Тож припустимо, що ОП відбуватиметься з англійського походження і приблизно в 1300 році населення Англії становило понад мільйон. (Скажімо перед великим голодом). Як би це змінило ваш аналіз?

— dassouki

мільйонів, а не мільярд. Це правильний бальний парк.

2^{28} \approx 268

$2^{28}\approx 268$

— whuber

2^{28} / 3

$2^{28} / 3$

4

$4$

2

Чим далі ви йдете, тим більше шансів, що ви пов’язані з людиною, яка успішно передала свої гени, що жили в той час. З 1/4 мільярдів предків, які ви жили в 1300 році, багато з них з’являлися сотні (якщо не тисячі, мільйони) разів у вашому родовому дереві. Генетичний дрейф і кількість разів, коли ми з ким-небудь безпосередньо пов’язані, швидше стосуються відмінностей у нашому генетичному коді, ніж ким були наші предки.

— Тім
джерело

0

Ймовірність = 1-z, кожен нащадок у цій проблемі пов'язаний з предками вище. Якою б не була початкова швидкість відтворення (1-z) - це ваша ймовірність бути нащадком від когось у початковій популяції. Напевно, невизначена ймовірність того, які шанси бути живим у кінцевій популяції.

Я погоджуюсь з відповіддю Ерада, хоча зараз я думаю, що він відповідає на запитання, яке не було задано, а саме - яка ймовірність того, що ви живі, маючи певні відомі репродуктивні та популяційні обмеження у ваших попередників.

— Wipa
джерело

n_{1}

$n_1$

z

$z$

z

$z$

g

$g$

Також для уточнення питання полягає у пошуку ймовірності того, що конкретна людина у кінцевому поколінні походить від конкретної людини у початковому поколінні.

— xpda

1

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

@ Уіпа Декарт , сума ерго настійно говорить про те, що ймовірність, що я живий, враховуючи будь-які обмеження на моїх передніх, становить 100% :-)

— whuber

@whuber, ти прав. Я вважаю, що ми говоримо про ту саму проблему. Я хотів уточнити, що я не шукаю ймовірності того, що хтось у першому поколінні матиме нащадка живим в останньому поколінні. Я побоювався, що ось тут відповіла Wipa (1-z).

— xpda

0

p > (1 - z) \times \frac{\frac{1}{n_{1} (1 - z)}}{2} = \frac{2}{n_{1}}

$p > {(1-z)} \times {{{1} \over {n_1(1-z)}} \over {2}} = {2 \over n_1}$

Відповідь пояснюється:
Враховуючи конкретну людину сьогодні, безсумнівно, що вони є нащадком щонайменше 2 людей 1300 року.

Під час вибору конкретної людини в 1300 році є (1-z) шанс, що людина ніколи не відтворюється, а інший термін - кількість "батьківських пар", а також ймовірність того, що людина має відношення до цієї пари (1 / кількість пар).

p > \frac{2}{n_{1}}

$p > {2 \over n_1}$

n_{k + 1} = \frac{n_{k} (1 - z) \times c}{2} = \frac{n_{1} (1 - z)^{k} c^{k}}{2^{k}}

$n_{k+1} = {{n_k(1-z)\times c} \over 2} = {n_1(1-z)^kc^k \over 2^k}$

p > 2 / 360, 000, 000 = 5.56 \times 10^{- 9}

$p > 2 / 360,000,000 = 5.56 \times 10^{-9}$

Дякую за прочитане, Ераде

— Ерад
джерело

c

$c$

z

$z$

Виходячи з початкового питання вище: c = середня кількість дітей на пару, z = відсоток людей, які не мають дітей

— Erad

2

1 / n

$1/n$

1 / 360 M \approx 10^{- 9}

$1/360M\approx 10^{-9}$

3

360, 000, 000 / (2.66 \times 10^{249}) ≪ 1

$360,000,000 / (2.66 \times 10^{249}) \ll 1$

1

10^{- 8}

$10^{-8}$

0

Це дуже цікаве запитання, оскільки воно задає нам математично вирішити фрактал. Такі як відома гра життя .

$p_1={2 \over n_1}$ $\lim_{k \to \infty } p_k = (1-z)$

$p_k$ $k$

p_{1} = \frac{2}{н_{1}}

$p_1 = {2 \over n_1}$

p_{2} = r е л а т i v е с \times \frac{2}{н_{2}} + н о н . r е л а т i v е с \times \frac{4}{н_{2}}

$p_2 = relatives \times {2 \over n_2} + non.relatives \times {4 \over n_2}$

r е л а т i v е с = \frac{(\binom{c}{2}) \times \frac{н}{c}}{(\binom{н}{2})} = \frac{c - 1}{н - 1}

$relatives = {\binom{c}{2} \times {n \over c} \over \binom{n}{2}} = {c-1 \over n-1}$

p_{3} = i m m e d i a t e . r e l a t i v e s \times \frac{4}{n_{3}} + c o u s i n s \times \frac{6}{n_{3}} + n o n . r e l a t i v e s \times \frac{8}{n_{3}}

$p_3 = immediate.relatives \times {4 \over n_3} + cousins \times {6 \over n_3} + non.relatives \times {8 \over n_3}$

З кожним поколінням ймовірність бути пов’язаною з кимось у початковій сукупності, безсумнівно, зростатиме, але меншими темпами. Це тому, що зростає ймовірність залучити "родичів", які походять з того ж чи подібного дерева.

Давайте використовувати етнічну приналежність як приклад. Скажімо, ми знаємо, що хтось є на 100% кавказьким. У віці 28 років він, швидше за все, пов'язаний зі значною частиною населення Кавказу в 1300 році (Як показало моделювання @whuber). Скажімо, він одружується з тим, хто на 100% різного етносу. Їх потомство буде пов'язане приблизно вдвічі більше, ніж кількість людей, з якими вони пов'язані, з 1300 року.

Ще одна цікава думка полягає в тому, що, враховуючи, що людська (гомосапієнова) раса починається з 600 чоловік в Африці, ми, швидше за все, є генетичною перестановкою всіх, хто успішно спарений.

— Ерад
джерело