Що це за компенсація дисперсії зміщення коефіцієнтів регресії та як це отримати?

9

У цій роботі ( Байєсівські умовиводи про варіаційні компоненти, що використовують лише контрасти помилок , Harville, 1974), автор стверджує бути "добре відомим співвідношення ", для лінійної регресії де

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = (y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)=(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

y = X β + ϵ,

$y=X\beta+\epsilon,$

ϵ \sim N (0, H) .

$\epsilon\sim\mathcal{N}(0, H).$

Як це добре відомо? Який найпростіший спосіб довести це?

— Сіббс Азартні ігри
джерело

1

Він знаходиться у Вікіпедії , дивіться там «виведення».

— user603

@ user603 Ви не проти зробити посилання зрозумілішим? Дякую!

— Сіббс Азартні ігри

@ user603 Вибачте, я не можу зрозуміти, як посилання вирішує проблему. Для мене, у моєму випадку, рівняння Var (y) = зміщення + ... Чи можете ви допрацювати?

— Сіббс Азартні ігри

4

@SibbsGambling Зауважте, що у вашому рівнянні є два доданки, пов'язані з дисперсією, у цій формулюванні зваженої лінійної регресії . Термін ліворуч пов'язаний з дисперсією навколо справжньої моделі (зважена матрицею точності ). Перший термін праворуч пов'язаний з дисперсією навколо приталених моделей. Другий член праворуч пов'язаний з квадратом зміщення. Це компромісне зміщення та зміщення.

H^{- 1}

$H^{-1}$

— EdM

6

Останній член у рівнянні можна записати як

(X β - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (X β - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta})'H^{-1}(X\beta - X\hat{\beta}).$

У цій формі рівняння говорить щось цікаве. Припустимо, що позитивно визначений і симетричний, тому обернена. Тому ми можемо визначити внутрішній добуток , даючи нам геометрію. Тоді вищезгадана рівність по суті говорить про те, що $H$ $<x, y>_{H^{-1}} = x'H^{-1}y$

(X β - X \hat{β}) ⊥ (y - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta}) \perp (y - X\hat{\beta}).$

Я хотів дати вам трохи інтуїції, оскільки коментатор вже залишив посилання на виведення.

Редагувати: Для нащадків

LHS:

\begin{array}{rcl} (y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) & = & y^{'} H^{- 1} y & - & 2 y^{'} H^{- 1} X β & + & β^{'} X^{'} H^{- 1} X β \\ = & (A) & - & (B) & + & (C) \end{array}

$\begin{eqnarray} (y-X \beta)'H^{-1}(y-X \beta) &=& y'H^{-1}y &-& 2y'H^{-1}X \beta &+& \beta'X'H^{-1}X\beta \\ &=& (A) &-& (B) &+& (C) \end{eqnarray}$

RHS:

(y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

\begin{array}{rcl} = & y^{'} H^{- 1} y & - 2 y^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + β X^{'} H^{- 1} X β & - 2 \hat{β} X^{'} H^{- 1} X β & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} \\ = & (A) & - (D) & + (E) & + (C) & - (F) & + (E) \end{array}

$\begin{eqnarray} &=& y'H^{-1}y &- 2y'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \beta X'H^{-1}X\beta &- 2\hat{\beta}X'H^{-1}X\beta &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} \\ &=& (A) &- (D) &+ (E) &+ (C) &- (F) &+ (E) \end{eqnarray}$

Відношення:

\hat{β} = (X^{'} H^{- 1} X)^{- 1} X^{'} H^{- 1} y

$\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

Підключивши відношення, ви можете показати, що (B) = (F), і що 2 (E) = (D). Все зроблено.

— jlimahaverford
джерело

Вибачте, я не можу зрозуміти, як посилання вирішує проблему. Для мене, у моєму випадку, рівняння Var (y) = зміщення + ... Чи можете ви допрацювати?

— Сіббс азартні ігри

@SibbsGambling редагував мою відповідь, включаючи виведення.

— jlimahaverford

@jlimahaverford Ви не забули у кінці формули для ?

y

$y$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— Гумео

7

Вони досягають цієї ідентичності технікою, що називається заповненням квадрата. Ліва частина знаходиться у квадратичній формі, тому почніть з її множення

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = y^{'} H^{- 1} y - 2 y^{'} H^{- 1} X β + β^{'} X^{'} H^{- 1} X β

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)= y'H^{-1}y - 2y'H^{-1}X\beta + \beta'X'H^{-1} X\beta$

продовжуйте, а потім перепишіть у вигляді . Алгебра є наче довгим, але гуглим, що завершує площу в байєсівській регресії, і ви можете знайти безліч підказок. Наприклад, дивіться вікіпедію про лінійну регресію Баєса та інші відповіді CrossValided щодо заповнення квадрата, як тут . $\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

— рахунок_е
джерело

2

Якщо ви знаєте свою матричну алгебру, то це можна зробити, множивши все, і переконавшись, що ви дійсно однакові з обох сторін. Це продемонстрував jlimahaverford.

Щоб мати змогу це зробити, вам потрібна формула для оцінки . Ми можемо отримати формулу аналогічним чином, як для лінійної регресії, коли у нас є некорельовані умови помилки. Хитрість полягає в стандартизації. $\hat{\beta}$

Ось деякі відомості про те, як стандартизувати RV, що надходить від багатоваріантного нормального розподілу. Припустимо, що у вас є позитивно визначена, так що ви можете факторізовать як . Тепер випадкова величина походить від розподілу . Тепер ми можемо використовувати цю хитрість для нашої проблеми, щоб знайти . Давайте факторізуются . У нас Тепер був стандартизований, таким, що

X \sim N (μ, Σ) .

$\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma).$

Σ

$\Sigma$

Σ = P P^{T}

$\Sigma = PP^T$

Y = P^{- 1} (X - μ)

$\mathbf{Y}=P^{-1}(\mathbf{X}-\mu)$

N (0, I)

$\mathcal{N}(0,I)$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

H = P P^{T}

$H=PP^T$

\begin{aligned} y & = X β + ϵ \\ P^{- 1} y & = P^{- 1} X β + P^{- 1} ϵ \end{aligned}

$\begin{align} y&=X\beta+\epsilon\\ P^{-1}y &= P^{-1}X\beta + P^{-1}\epsilon \end{align}$

ϵ

$\epsilon$

cov (P^{- 1} ϵ) = I

$\text{cov}(P^{-1}\epsilon)=I$ , тому тепер ми можемо трактувати це як просту модель множинної лінійної регресії, де: Отже, у нас є проблема з регресією: Формула для є Це ключ, який потрібно зробити це інше - алгебраїчна маніпуляція, продемонстрована в рішенні jlimahaverford.

\tilde{X} = P^{- 1} X, \tilde{y} = P^{- 1} y and \tilde{ϵ} = P^{- 1} ϵ .

$\tilde{X}=P^{-1}X,\qquad \tilde{y}=P^{-1}y\quad\text{and}\quad \tilde{\epsilon}=P^{-1}\epsilon.$

\tilde{y} = \tilde{X} β + \tilde{ϵ}

$\tilde{y}=\tilde{X}\beta+\tilde{\epsilon}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\begin{aligned} \hat{β} & = ({\tilde{X}}^{T} \tilde{X})^{- 1} {\tilde{X}}^{T} \tilde{y} \\ = ((P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} X)^{- 1} (P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} y \\ = (X^{T} (P P^{T})^{- 1} X)^{- 1} X (P P^{T})^{- 1} y \\ = (X^{T} H^{- 1} X)^{- 1} X H^{- 1} y \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta} &= (\tilde{X}^T\tilde{X})^{-1}\tilde{X}^T\tilde{y}\\ &=((P^{-1}X)^TP^{-1}X)^{-1}(P^{-1}X)^TP^{-1}y\\ &=(X^T(PP^T)^{-1}X)^{-1}X(PP^T)^{-1}y\\ &=(X^TH^{-1}X)^{-1}XH^{-1}y \end{align}$

— Гумео
джерело