При повторній параметризації функції ймовірності достатньо просто підключити перетворену змінну замість зміни формули змінних?

Припустимо, що я намагаюся повторно параметризувати функцію вірогідності, яка розподілена експоненціально. Якщо моя оригінальна функція вірогідності:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

і я хотів би повторно параметризувати його за допомогою , оскільки не є випадковою змінною, а параметром, достатньо лише підключити?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Що я маю на увазі прямо:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Якщо так, я не впевнений, яка теорія стоїть за цим. Я розумію, що функція ймовірності - це функція параметра, тому чому мені не потрібно використовувати формулу змінних змінних, мене бентежить. Будь-яка допомога буде дуже вдячна, дякую!

Якобіян не потрібен для вашої трансформації, оскільки це розподіл ймовірностей на , а не на . Він повинен інтегруватися до одиниці в , використовуєте ви або : Якобіян з'являється лише тоді, коли ви включаєте (баєсівський) захід на . Тобто, якщо є пріоритетним на , тоді задня щільність дорівнює а задня щільність є θ y θ ϕ ∫ p ( y | θ ) d y = ∫ p ( y | ϕ ) d y = 1 θ p ( θ ) θ θ p ( θ | y ) ∝ p ( θ ) p ( y | θ ) ϕ p ( ϕ | y ) ∝ p ( $y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$| ∂ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ що залучає якобійський.$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$