Зважаючи на n рівномірно розподілених r.v's, що PDF за один rv ділиться на суму всіх n r.v's?

10

Мене цікавить такий тип випадків: є безперервні випадкові змінні, що мають значення n, які повинні дорівнювати 1. Який тоді буде PDF для будь-якої окремої такої змінної? Отже, якщо , то мене цікавить розподіл для , де і розподілені рівномірно. Середнє значення, звичайно, у цьому прикладі становить , оскільки середнє значення становить лише , і хоча легко моделювати розподіл у R, я не знаю, що таке фактичне рівняння для PDF чи CDF. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

Ця ситуація пов'язана з розподілом Ірвіна-Холла ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Тільки Ірвін-Холл - це розподіл суми n рівномірних випадкових величин, тоді як я хотів би розподілу для однієї з n рівномірних rv, поділених на суму всіх n змінних. Дякую.

uniform

— user3593717
джерело

1

Якщо суцільних однорідних випадкових величин дорівнює , то при , і тому розподіл є таким же, як розподіл , правда?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Діліп Сарват

1

Я повинен виправити себе: N рівномірних розподілів не дорівнює 1. Я припускаю, що вони однакові між 0 і 1, і тому їх сума може бути будь-якою від 0 до Н. Я думаю взяти кожну рівномірну змінну і розділити це за сумою всіх N рівномірних змінних, щоб отримати набір з N випадкових змінних, які дорівнюють 1 і очікували значення 1 / N. Примітка. Я вилучив слово "уніформа" зі свого першого речення. Я шукаю розподіл не є рівномірним, але походить від поділу однієї з N однорідних змінних на суму всіх N єдиних змінних. Я просто не впевнений, як.

— користувач3593717

Там, де розподілені експоненціально, вектор нормалізованих змінних має розподіл Діріхле. Це може представляти інтерес саме по собі, але розглянуте може також забезпечити тактику такого типу ситуації.

X_{i}

$X_i$

— вигадки

4

Точки перерви в домені роблять це дещо безладним. Простий, але виснажливий підхід полягає в тому, щоб домогтися остаточного результату. Для нехай $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ іТоді $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Ці контрольні точки знаходяться на 1 для 1 і 2 для 2 і 3 для і і для Я знайшов повний pdf $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

Потім cdf можна знайти як

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— соклей
джерело

+1 Приємно. Крім того, ваша щільність чудово узгоджується з імітацією.

— Glen_b -Встановіть Моніку

2

Нехай . Ми можемо знайти cdf , обчисливши $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$ Потім диференціюємо і підставляємо pdf Irwin-Hall, щоб отримати бажаний pdf:

\begin{aligned} П (\frac{Х_{1}}{\sum_{i = 1}^{н} Х_{i}} \leq т) & = П (Х_{1} \leq т \sum_{i = 1}^{н} Х_{i}) \\ = П ((1 - т) Х_{1} \leq т \sum_{i = 2}^{н} Х_{i}) \\ = П (Х_{1} \leq \frac{т}{1 - т} Y) \\ = \int_{0}^{1} П (х_{1} \leq \frac{т}{1 - т} Y) г х_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - Ж_{Y} (\frac{1 - т}{т} х_{1})) г х_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} Ж_{Y} (\frac{1 - т}{т} х_{1}) г х_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

Звідси воно стає трохи безладним, але ви повинні мати можливість замінити інтеграл і підсумовування, а потім виконати підстановку (наприклад,

\begin{aligned} f (т) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - т}{т} х_{1}) \cdot \frac{х_{1}}{т^{2}} г х_{1} \\ = \frac{1}{т^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(н - 1) т}{1 - т}} \sum_{к = 0}^{⌊ \frac{1 - т}{т} х_{1} ⌋} \frac{1}{(н - 2)!} (- 1)^{к} (\binom{н - 1}{к}) (\frac{1 - т}{т} х_{1} - к)^{н - 1} х_{1} г х_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$

) для оцінки інтеграла і, отже, отримання явної формули для pdf.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Брент Кербі
джерело

1

Припускаючи

"N рівномірних розподілів не дорівнює 1."

Ось як я почав (це неповно):

Розглянемо і дозвольмо шляхом невеликого зловживання позначенням. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Розглянемо, і: $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

Х = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Потім слід перетворення змінних :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Функція спільної ймовірності задається: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Де і $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{Х} (х) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq х \leq 1 \\ 0 & о т год е r ш i с е \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

І,

f_{Y} (у) = \frac{1}{2 (н - 1)!} \sum_{к = 0}^{н} (- 1)^{к} (\binom{н}{к}) (х - к)^{н - 1} с i г н (х - к)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Таким чином,

f_{U, V} (у, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (н - 1)!} \sum_{к = 0}^{н} (- 1)^{к} (\binom{н}{к}) (у v - к)^{н - 1} с i г н (у v - к) & 0 \leq у v \leq 1 \\ 0 & о т год е r ш i с е \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

і $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— правами
джерело

0

Припустимо, ми вже знаємо, що сума має розподіл Ірвіна-Холла. Тепер ваше запитання змінюється, щоб знайти pdf (або CDF) $U(0,1)$ коли X маврозподіламає розподіл Ірвіна-Холла. $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

По- перше , ми повинні знайти , що він спільний ПДФ і . $X$ $Y$

Нехай $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Тоді

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Оскільки є iid з тому $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

Спільний розподіл з є $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Далі інтегруємо і ми можемо отримати спільний розподіл і тобто спільний розподіл і $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Як запропонував Уубер, зараз я змінив обмеження

\begin{matrix} (1) & год (у_{1}, у_{3}) = \int_{у_{1} + 1}^{у_{3} - 1} г (у_{1}, у_{2}, у_{3}) г у_{2} = \int_{у_{1} + 1}^{у_{3} - 1} 1 г у_{2} = у_{3} - у_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Тепер ми знаємо спільний pdf тобто спільний pdf і є . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

Далі знайдіть pdf $\frac{X}{Y}$

Нам потрібна ще одна трансформація:

Нехай $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Тоді $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Тоді

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

ми вже спільний розподіл з вищевказаних кроків ref (1) . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

$y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & {год}_{2} (у_{2}) = \int_{0}^{1} (у_{3} - у_{1} - 2) \frac{у_{1}}{у_{2}^{2}} г у_{1} = \frac{1}{у_{2}^{2}} (\frac{у_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

$X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

$y_3$

$Y_3=X_1+X_2+X_3$

$Y_3$

$n=3$

— Глибока Північ
джерело

2

Моделювання, схоже, не погоджується з цим файлом PDF.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Логіка та кроки здаються правильними, але мені стає незручно щодо цього рішення.

— Глибокий Північ

2

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$