Як статистично перевірити, чи моя мережа (графік) є мережею "малого світу" чи ні?

Малої світова мережа являє собою тип математичного графа , в якому більшість вузлів не є сусідами одного з одним, але більшість вузлів можуть бути досягнуті з будь-яким іншим невеликим числом стрибків або кроків. Зокрема, мережа малого світу визначається як мережа, де типова відстань L між двома випадковими обраними вузлами (кількість необхідних кроків) зростає пропорційно логарифму кількості вузлів N у мережі, тобто

$$L \approx \log(N)$$

Ця залежність між L і N є "правилом великого пальця". Я шукаю більш професійне визначення графіків малого світу для мого дослідження. Як я можу перевірити, чи є мій графік малим світом чи ні?

Експеримент з малого світу складався з декількох експериментів, проведених Стенлі Мілграмом та іншими дослідниками, що вивчали середню довжину шляху соціальних мереж людей у ​​США. Дослідження було новаторським, оскільки воно припустило, що людське суспільство - це мережа малого світу, що характеризується короткими довжинами шляху. Експерименти часто асоціюються з фразою "шість градусів поділу", хоча Мілграм сам не вживав цей термін.

Спасибі заздалегідь.

TL; DR:

Ви не можете.

Що зазвичай робиться

Сучасний "сучасний стан" для визначення того, чи є мережа маленьким світом, використовує такий підхід:

1. $L$$C$

2. Створіть відповідний ансамбль мереж з нульовою моделлю, таких як випадкові графіки Ерда – Ренія або випадкові графіки Маслова – Снеппен .

3. $L_\text{r}$$C_\text{r}$

4. $λ := L/L_\text{r}$$γ := C/C_\text{r}$

5. Якщо і відповідають певним критеріям (наприклад, та ), назвіть мережу малої світової мережі.$λ$$γ$$λ≈1$$γ>1$

Ідея цього полягає в тому, що:

• Мережі малого світу повинні мати певну просторову структуру, що відображається високим коефіцієнтом кластеризації. Навпаки, випадкові мережі не мають такої структури і низький коефіцієнт кластеризації.

• Мережі малого світу є ефективними у спілкуванні та подібних, і тому мають невелику найкоротшу довжину шляху, порівнянну з довжиною випадкових мереж. Навпаки, суто просторові мережі мають велику найкоротшу довжину шляху.

Де проблеми

• Це нічого не говорить про те, як середній найкоротший шлях масштабується з розміром мережі. Насправді, для реальних мереж не можна застосувати все вказане вами визначення, оскільки немає такої речі, як одна і та сама мережа з різною кількістю вузлів.

• $λ$$γ$

  Мережа малого світу - це просторова мережа з доданими дальніми з'єднаннями.

  $λ$$γ$

• Вищеописаний метод не є надійним для помилок вимірювань. Невеликі помилки під час встановлення мережі за допомогою вимірювань достатньо, щоб зробити, наприклад, решітки схожими на мережу малого світу, див., Наприклад, Bialonski et al., Chaos (2010) та Papo et al., Front. Гул. Невросці. (2016) . Насправді я не знаю жодного дослідження, яке стверджує, що якась емпірична мережа - це не мережа малого світу.

Sidenote: Що б ви здобули?

Я не знаю жодного корисного розуміння, яке можна отримати з якоїсь маленької мережі. Твердження про те, що певний тип мережі добре описується певною мережевою моделлю (наприклад, модель Вттса-Строгаца), може бути корисним для моделювання досліджень, але це йде набагато далі, ніж просто вимагати малого світу.

^{Повна відмова від відповідальності: Один з вищезазначених статей знаходиться в моїй безпосередній академічній близькості.}

Індекс малої свідомості можна обчислити в "R", використовуючи функцію smallworldness в пакеті qgraph .

На цьому ґрунтуються: Хамфріс, доктор медицини, & Gurney, K. (2008). Мережа " малий світ" - кількісний метод визначення канонічної еквівалентності мережі . PLoS One, 3 (4), e0002051

З паперу:

"Зараз мережа вважається" малим світом ", якщо S> 1 - твердження, яке може бути перевірено статистично."