Що таке "момент" про "моменти" розподілу ймовірностей?

Я ЗНАЮ, що таке моменти, і як їх обчислити, і як використовувати функцію генерації моменту для отримання моментів вищого порядку. Так, я знаю математику.

Тепер, коли мені потрібно, щоб мої статистичні знання були змащені для роботи, я подумав, що міг би також задати це питання - це мене нудило вже близько декількох років і ще в коледжі жоден професор не знав відповіді або просто відхилив би питання (чесно) .

То що означає слово "момент" у цьому випадку? Чому саме цей вибір слова? Для мене це не звучить інтуїтивно (або я ніколи цього не чув у коледжі :) Придумайте це, я однаково цікавий його використанням у "момент інерції";), але давайте не зупинимось на цьому поки що.

Отже, що означає "момент" розповсюдження і що він прагне зробити і чому ЦЕ слово! :) Чому когось хвилює моменти? У цей момент я відчуваю інакше щодо цього моменту;)

PS: Так, я, мабуть, задавав подібне питання щодо дисперсії, але я ціную інтуїтивне розуміння над «погляньте в книгу, щоб дізнатися» :)

Згідно з цим документом «Перший (?) Виникнення загальних термінів в математичній статистиці» Х.А. Давид, перше використання слова «момент» в цій ситуації було в 1893 р листи до природі Карла Пірсон під назвою «Асиметричні Частотні криві» .

1938 Нейман в Biometrika папір «Історична записка про дедукції Карла Пірсона моментів біноміального» дає хороший короткий огляд листи і подальшої роботу Пірсона про моментах біноміального розподілу і методі моментів. Це справді добре прочитане. Сподіваємось, у вас є доступ до JSTOR, тому що я не маю часу на те, щоб дати гарний підсумок роботи (хоча я буду в ці вихідні). Хоча я згадаю один фрагмент, який може дати зрозуміти, чому вживався термін «момент». З паперу Неймана:

$\alpha$

Саме це врешті призвело до «методу моментів». Нейман переходить до виведення Пірсона біноміальних моментів у вищенаведеній роботі.

І з листа Пірсона:

$s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

Це натякає на той факт, що Пірсон використовував термін "момент" як алюзію на "момент інерції", термін, поширений у фізиці.

Ось сканування більшості листів про природу Пірсона :

Ви можете переглянути всю статтю на сторінці 615 тут .

У кожного є свої моменти на моменти. Я мав своє ім'я в кумулянті та моменті поза варіацією, косою та куртозом , і провів деякий час, читаючи цю чудову нитку.

Як не дивно, я не знайшов «згадки про момент» у «Доповіді Х.А. Девіда». Тому я пішов до Карла Пірсона: Наукове життя в статистичну епоху , книги ТМ Портер та Карла Пірсона та витоки сучасної статистики: еластик стає статистиком . Він, наприклад , відредагована Історією теорії пружності і міцності матеріалів від Галілей до теперішнього часу .

Його передумови були дуже широкими, і він, зокрема, був професором інженерії та еластики, який брав участь у визначенні моментів вигину прольоту мосту та обчисленні напружень на кладкових греблях. Еластично можна лише обмежено спостерігати за тим, що відбувається (розрив). Він, здавалося б, зацікавився (з книги Портера):

графічний обчислення або, у своїй найдостойнішій та математичній формі, графічна статика.

Пізніше:

З початку своєї статистичної кар’єри, і навіть до цього, він підходив до кривих, використовуючи "метод моментів". У механіці це означало відповідність складного тіла простому чи абстрактному тілу, яке мало однаковий центр маси та «радіус розгойдування» відповідно першого та другого моментів. Ці величини відповідали в статистиці середньому значенню та розповсюдженню чи розсіюванню вимірювань навколо середнього.

А оскільки:

Пірсон розглядав дискретні інтервали вимірювань, це була сума, а не інтеграл

Інерційні моменти можуть означати підсумок рухомого тіла: обчислення можна проводити так, ніби тіло зводили до однієї точки.

Пірсон створив ці п’ять рівностей як систему рівнянь, що об'єдналися в один з дев'ятого ступеня. Числове рішення було можливе лише шляхом послідовних наближень. Реальних рішень могло бути аж дев'ять, хоча в цьому випадку було лише два. Він зібрав обидва результати поряд з оригіналом і в цілому був задоволений появою результату. Однак він не покладався на візуальний огляд, щоб вирішити між ними, але обчислив шостий момент, щоб визначити найкращу відповідність

Повернемося до фізики. Момент - це фізична величина, яка враховує локальне розташування фізичної властивості, як правило, щодо певної порядкової точки або осі (класично в просторі чи часі). Він підсумовує фізичні величини, виміряні на деякій відстані від еталону. Якщо кількість не концентрується в одній точці, момент "усереднюється" по всьому простору за допомогою інтегралів або сум.

Мабуть, концепцію моментів можна простежити до відкриття принципу дії важеля, «виявленого» Архімедом. Одне з перших відомих випадків - це латинське слово "momentorum" із теперішнім прийнятим значенням (момент про центр обертання). У 1565 році Федеріко Командіно переклав роботу Архімеда (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) як:

Центром ваги кожної твердої фігури є та точка, яка знаходиться всередині неї, навколо якої з усіх боків стоять частини рівного моменту.

або

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, circa quod undique partes aequalium momentorum

Отож, мабуть, аналогія з фізикою досить сильна: із складної дискретної фізичної форми знайдіть величини, які її достатньо наближають, форму стиснення або посидючості.

Будучи надмірно спрощеними, статистичні моменти є додатковими дескрипторами кривої / розподілу. Ми знайомі з першими двома моментами, і вони, як правило, корисні для постійних нормальних розподілів або подібних кривих. Однак ці перші два моменти втрачають свою інформаційну цінність для інших дистрибутивів. Таким чином, інші моменти надають додаткову інформацію про форму / форму розподілу.

Питання: То що означає слово "момент" у цьому випадку? Чому саме цей вибір слова? Для мене це не звучить інтуїтивно (або я ніколи цього не чув у коледжі :) Придумайте це, я однаково цікавий його використанням у "момент інерції";), але давайте не зупинимось на цьому поки що.

Відповідь: Насправді в історичному сенсі момент інерції, мабуть, звідки походить сенс цього моменту. Дійсно, можна (як показано нижче) показати, як момент інерції стосується дисперсії. Це також дає фізичну інтерпретацію вищих моментів.

У фізиці момент є виразом, що включає добуток відстані та фізичної величини, і таким чином він пояснює, як розташована чи розташована фізична величина. Моменти зазвичай визначаються відносно фіксованої опорної точки; вони мають справу з фізичними величинами, виміряними на деякій відстані від цієї точки відліку. Наприклад, момент дії сили на предмет, який часто називають крутним моментом, - це добуток сили і відстань від опорної точки, як у наведеному нижче прикладі.

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

$n^{\text{th}}$

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

Що робити, якщо ми хочемо обчислити назад, тобто взяти твердий 3D-об’єкт і перетворити його на функцію ймовірності? Тоді речі стають трохи складнішими. Наприклад, візьмемо торус .

$r$$z$

$I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$