Випадкові матриці з обмеженнями на довжину рядків і стовпців

Мені потрібно генерувати випадкові неквадратичні матриці з рядками та стовпцями, елементами, випадковим чином розподіленими із середнім = 0, та обмеженими таким чином, що довжина (норма L2) кожного рядка дорівнює$R$$C$$1$ а довжина кожного стовпця - . Рівнозначно, значення квадратних значень дорівнює 1 для кожного рядка і для кожного стовпця.$\sqrt{\frac{R}{C}}$$\frac{R}{C}$

Поки я знайшов один із способів досягти цього: просто ініціалізувати елементи матриці випадковим чином (наприклад, з рівномірного, нормального чи розподілу лапла з нульовою середньою та довільною дисперсією), а потім по черзі нормалізувати рядки та стовпці до , що закінчується нормалізацією рядків. Це, здається, досить швидко збігається до бажаного результату (наприклад, для і , відхилення довжини стовпців зазвичай становить ~ після ітерацій), але я не впевнений, чи можу я залежати від цієї швидкої швидкості конвергенції. в цілому (для різних розмірів матриці та розподілу початкових елементів).${\rm length} = 1$$R=40$$C=80$$~0.00001$$2$

Моє запитання таке: чи є спосіб досягти бажаного результату ( , ) безпосередньо без ітерації між нормалізація рядків / стовпців? Наприклад, щось на зразок алгоритму нормалізації випадкового вектора (ініціалізувати елементи випадковим чином, вимірювати суму квадратних значень, а потім масштабувати кожен елемент загальним скаляром). Якщо ні, чи є проста характеристика швидкості конвергенції (наприклад, ітерації чисел до помилки ) описаного вище ітеративного методу?${\rm row \ lengths} = 1$${\rm column \ lengths} = \sqrt{\frac{R}{C}}$$< \epsilon$

Як заявив @cardinal у коментарі:

Насправді, поміркувавши, я думаю, що алгоритм - це саме алгоритм Сінкхорна-Ноппа з дуже незначною модифікацією. Нехай - ваша початкова матриця, а Y - матриця такого ж розміру, що Y i j = X 2 i j . Потім, ваш алгоритм еквівалентно застосування Sinkhorn-Кноппена до Y , де на останній крок відновити потрібну форму, приймаючи Й я J = и г п ( Х я J ) $X$$Y$$Y_{ij}=X^2_{ij}$$Y$ . Сінкхорн-Нопп гарантовано зближується, за винятком досить патологічних обставин. Читання на ньому має бути дуже корисним.$\hat{X}_{ij}=sgn(X_{ij})\sqrt{Y_{ij}}$

... здається, що ітераційний алгоритм, який я запропонував в оригінальному питанні, дуже схожий на алгоритм Сінкхорна-Ноппа. Цікаво, що вона також виглядає дуже схожою на ітераційну пропорційну підгонку (IPF), яка, як описано на сторінці вікіпедії IPF, пов'язана з методом Ньютона та максимізацією очікування (усі мають однакову межу).

Ці ітеративні методи часто застосовуються до проблем, яким не вистачає рішення закритої форми, тому я орієнтовно припускаю, що відповідь на питання негативна: немає способу досягти потрібного рішення без ітерації рядків / стовпців.