Два визначення р-значення: як довести їх еквівалентність?

Я читаю книгу Ларрі Вассермана " Вся статистика" , а зараз про p-значення (стор. 187). Дозвольте спочатку представити деякі визначення (цитую):

$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Це в основному говорить про те, що $\alpha$ , розмір є "найбільшою" ймовірністю помилки типу I. Потім значення $p$ значення визначається через (я цитую)

Визначення 2 Припустимо, що для кожного $\alpha\in(0,1)$ ми маємо тест розміру $\alpha$ з областю відхилення $R_\alpha$ . Тоді

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ де $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ .

Для мене це означає: з урахуванням конкретного $\alpha$ існує область тесту та відхилення $R_\alpha$ так що $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ . Для $p$ -значення я просто беру найменший з усіх цих $\alpha$ .

Питання 1 Якщо це було б так, я міг би чітко вибрати для довільно малого . Що таке моє неправильне тлумачення визначення 2, тобто що воно точно означає?$\alpha = \epsilon$$\epsilon$

Тепер Вассерман безперервно і заявляє теорему про «еквівалентне» визначення -значення, з яким я знайомий (цитую):$p$

Теорема Припустимо, що тест розміру має форму Тоді де - спостережуване значення .$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

Отже, ось моє друге питання:

Запитання 2 Як я можу насправді довести цю теорему? Можливо, це пов’язано з моїм нерозумінням визначення значення, але я не можу це зрозуміти.$p$

У нас є кілька багатовимірних даних , отриманих з розподілу з невідомим параметром . Зауважте, що - вибіркові результати.$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Ми хочемо перевірити деяку гіпотезу про невідомий параметр , значення під нульовою гіпотезою знаходяться у множині .$\theta$$\theta$$\theta_0$

У просторі ми можемо визначити область відхилення , а потужність цієї області визначається як . Таким чином, потужність обчислюється для певного значення of як ймовірність того, що результат вибірки знаходиться в області відхилення коли значення дорівнює . Очевидно, що потужність залежить від області та вибраного .$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

Визначення 1 визначає розмір області$R$ як надсумову всіх значень для у , тому лише для значень під . Очевидно , що це залежить від регіону, так .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Оскільки залежить від ми маємо інше значення, коли область змінюється, і це є підставою для визначення p-значення: змінити область, але таким чином, щоб спостережуване значення вибірки все-таки належало області, для кожна така область, обчислити , як визначено вище , і нижня межа береться: . Отже p-значення - це найменший розмір усіх регіонів, що містять .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

Теорема - це лише її "переклад", а саме випадок, коли області визначаються за допомогою статистики а для значення ви визначаєте область як . Якщо ви використовуєте цей тип області у наведених вище міркуваннях, то теорема випливає.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

EDIT через коментарі:

@ user8: для теореми; якщо визначити області відхилення як у теоремі, то область відхилення розміром - це набір, який виглядає як для деяких .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Щоб знайти p-значення спостережуваного значення , тобто ви повинні знайти найменшу область , тобто найбільше значення таке, що все ще містить , остання (область містить ) еквівалентна (через спосіб визначення регіонів) тому, що , тому ви повинні знайти найбільший такий, що$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Очевидно, що найбільший такий, що повинен бути і тоді множина supra стає$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

У визначенні 2 -значення тестової статистики є найбільшою нижньою межею всіх така що гіпотеза відхиляється для тесту розміру . Нагадаємо, що чим менше ми робимо , тим менше допускається помилка типу I, яку ми допускаємо, таким чином область відхилення також зменшиться. Тож (дуже) неофіційно кажучи, значення -значення є найменшою ми можемо вибрати, що все ще дозволяє нам відкидати для даних, які ми спостерігали. Ми не можемо довільно вибрати меншу оскільки в якийсь момент$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ буде настільки малим, що виключатиме (тобто не вміщує) події, яку ми спостерігали.

Тепер, з огляду на сказане, я пропоную вам переглянути теорему.