Який розподіл для різних багатогранних кісток, які згортаються відразу?

Візьміть 5 платонічних твердих тіл з набору кісток Dungeons & Dragons. Вони складаються з 4-х, 6-сторінних (звичайних), 8-сторонніх, 12-сторонніх та 20-сторонніх кісток. Усі починаються з числа 1 і підраховують вгору на 1 до їх загальної кількості.

Згорніть їх усі відразу, візьміть їх суму (мінімальна сума - 5, макс - 50). Зробіть це кілька разів. Що таке розподіл?

Очевидно, що вони будуть прагнути до нижнього кінця, оскільки є більш низькі числа, ніж вищі. Але чи будуть помітні точки перегину на кожній межі окремого відмирання?

[Редагувати: Мабуть, те, що здавалося очевидним, не є. За словами одного з коментаторів, середнє значення становить (5 + 50) /2=27,5. Я цього не очікував. Я все одно хотів би побачити графік.] [Edit2: Більше сенсу бачити, що розподіл n кубиків є однаковим, як і всі кістки окремо, додані разом.]

Я б не хотів це робити алгебраїчно, але ви можете обчислити pmf досить просто (це просто згортання, що дуже просто в електронній таблиці).

Я обчислював їх у таблиці *:

i        n(i)   100 p(i)
5         1     0.0022
6         5     0.0109
7        15     0.0326
8        35     0.0760
9        69     0.1497
10      121     0.2626
11      194     0.4210
12      290     0.6293
13      409     0.8876
14      549     1.1914
15      707     1.5343
16      879     1.9076
17     1060     2.3003
18     1244     2.6997
19     1425     3.0924
20     1597     3.4657
21     1755     3.8086
22     1895     4.1124
23     2014     4.3707
24     2110     4.5790
25     2182     4.7352
26     2230     4.8394
27     2254     4.8915
28     2254     4.8915
29     2230     4.8394
30     2182     4.7352
31     2110     4.5790
32     2014     4.3707
33     1895     4.1124
34     1755     3.8086
35     1597     3.4657
36     1425     3.0924
37     1244     2.6997
38     1060     2.3003
39      879     1.9076
40      707     1.5343
41      549     1.1914
42      409     0.8876
43      290     0.6293
44      194     0.4210
45      121     0.2626
46       69     0.1497
47       35     0.0760
48       15     0.0326
49        5     0.0109
50        1     0.0022

Тут - кількість способів отримання кожного загального i ; p ( i ) - ймовірність, де p ( i ) = n ( i $n(i)$$i$$p(i)$ . Найімовірніші результати трапляються менше 5% часу.$p(i) = n(i)/46080$

Вісь у ймовірності виражається у відсотках.

* Метод, який я використав, аналогічний описаній тут процедурі , хоча точна механіка, яка бере участь у його налаштуванні, змінюється, коли змінюються деталі користувальницького інтерфейсу (цьому посту вже близько 5 років, хоча я оновив його близько року тому). І я цього разу використовував інший пакет (я цього разу робив це в Calc LibreOffice). І все-таки в цьому суть.

Тому я зробив цей код:

d4 <- 1:4  #the faces on a d4
d6 <- 1:6  #the faces on a d6
d8 <- 1:8  #the faces on a d8
d10 <- 1:10 #the faces on a d10 (not used)
d12 <- 1:12 #the faces on a d12
d20 <- 1:20 #the faces on a d20

N <- 2000000  #run it 2 million times
mysum <- numeric(length = N)

for (i in 1:N){
     mysum[i] <- sample(d4,1)+
                 sample(d6,1)+
                 sample(d8,1)+
                 sample(d12,1)+
                 sample(d20,1)
}

#make the plot
hist(mysum,breaks = 1000,freq = FALSE,ylim=c(0,1))
grid()

Результат - це сюжет.

Це досить гауссово виглядає. Я думаю, що ми (знову ж таки), можливо, продемонстрували варіацію центральної граничної теореми.

Трохи допоможе вашій інтуїції:

Спочатку подумайте, що станеться, якщо ви додасте його до всіх граней одного штампу, наприклад, d4. Отже, замість 1,2,3,4 на обличчях тепер показано 2,3,4,5.

Порівнюючи цю ситуацію з початковою, неважко помітити, що загальна сума зараз на один вищий, ніж раніше. Це означає, що форма розподілу незмінна, вона просто переміщується на один крок убік.

Тепер віднімаємо середню величину кожного штампу з кожної сторони, що відмирає.

Це дає позначення кісток

• $-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$
• $-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$
• $-{7\over 2}$$-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$${7\over 2}$

тощо.

Тепер сума цих кубиків повинна мати таку ж форму, що й оригінальна, лише зміщена вниз. Повинно бути зрозуміло, що ця сума симетрична навколо нуля. Тому оригінальний розподіл також симетричний.

> p  <-  q  <-  c(0, rep(1/6,6))
> pq  <-  convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
 [7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778

і ви можете перевірити, що це правильно (ручним розрахунком). Тепер для справжнього питання, п’ять кубиків із 4,6,8,12,20 сторонами. Я буду робити розрахунок, передбачаючи однакові проби для кожної кістки. Потім:

> p1  <-  c(0,rep(1/4,4))
> p2 <-  c(0,rep(1/6,6))
> p3 <-  c(0,rep(1/8,8))
> p4  <-  c(0, rep(1/12,12))
> p5  <-  c(0, rep(1/20,20))
> s2  <-  convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <-  convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <-  convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
 [7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))

Сюжет показаний нижче:

Тепер ви можете порівняти це точне рішення із симуляціями.

Центральна гранична теорема відповідає на ваше запитання. Незважаючи на те, що його деталі та докази (та стаття у Вікіпедії) дещо згинають мозок, суть цього проста. У Вікіпедії це сказано

сума ряду незалежних і однаково розподілених випадкових змінних з кінцевими дисперсіями буде мати тенденцію до нормального розподілу в міру зростання кількості змінних.

Ескіз доказу вашої справи:

Коли ви говорите «киньте всі кістки відразу», кожен рулон усіх кісток є випадковою змінною.

На ваших кубиках надруковані кінцеві числа. Тому сума їх значень має кінцеву дисперсію.

Кожен раз, коли ви перекидаєте всі кістки, розподіл ймовірностей результату однаковий. (Кістки не змінюються між рулонами.)

Якщо ви котитимете кістки справедливо, то кожен раз, коли ви їх робите, результат буде незалежним. (Попередні рулони не впливають на майбутні рулони.)

Незалежний? Перевірити. Ідентично розподілений? Перевірити. Кінцева дисперсія? Перевірити. Тому сума прагне до нормального розподілу.

Навіть не було б важливо, чи розподіл для одного рулону всіх кісток було однобічним у напрямку до нижнього кінця. Я не мав би значення, чи були в цьому дистрибутиві кукси. Все підсумовування згладжує його і робить його симетричним гауссом. Вам навіть не потрібно робити якусь алгебру чи симуляцію, щоб показати це! Це дивовижне розуміння CLT.