Половина дискретної випадкової величини?

9

Нехай - дискретна випадкова величина, що приймає її значення в . Я хотів би вдвічі зменшити цю змінну, тобто знайти випадкову змінну таку як: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

де є незалежною копією . $Y^*$ $Y$

Я ставлюсь до цього процесу як удвічі ; це складена термінологія. Чи є в літературі відповідний термін для цієї операції?
Мені здається, що такий завжди існує, лише якщо ми приймаємо негативні ймовірності. Чи я правильний у своєму спостереженні? $Y$
Чи існує поняття найкращого позитивного підходу для ? Ака випадкова величина, яка була б "найближчою" для вирішення рівняння вище. $Y$

Дякую!

random-variable

— Джоанн Верморель
джерело

1

У випадках, коли ви не можете точно «зменшити вдвічі», існує кілька можливих визначень «найближчих»; це залежить від того, що ви хочете оптимізувати.

— Glen_b -Встановити Моніку

10

Поняття, сильно пов'язане з цією властивістю (якщо слабша), - це декомпозитивність . Закон, який можна розкласти - це розподіл ймовірностей, який можна представити як розподіл суми двох (або більше) нетривіальних незалежних випадкових величин. (І нерозбірливий закон не може бути записаний таким чином. "Або більше", безумовно, не має значення.) Необхідною і достатньою умовою для декомпонованості є те, що характерна функція - це добуток двох (або більше) характерних функцій.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Я не знаю, чи вважає властивість, яку ви вважаєте, вже має ім'я в теорії ймовірностей, можливо, пов'язане з нескінченною подільністю . Що є набагато сильнішою властивістю , але яка включає цю властивість: всі нескінченно ділимі rv задовольняють це розкладання. $X$

Необхідною і достатньою умовою цієї "первинної подільності" є те, що корінь характерної функції знову є характерною функцією.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

У випадку розподілів з цілочисельною підтримкою це рідко, оскільки характерна функція є многочленом у . Наприклад, випадкова величина Бернуллі не підлягає розкладанню. $\exp\{it\}$

Як зазначалося на сторінці Вікіпедії про декомпозитивність , також існують абсолютно неперервні розподіли, які не можна розкласти, як наприклад, щільність

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

У випадку, якщо характерна функція реально оцінена, можна використовувати теорему Поля : $X$

Теорема Пулі. Якщо φ - реальна цінна, рівномірна безперервна функція, яка задовольняє умовам
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
тоді φ - характерна функція абсолютно неперервного симетричного розподілу.

Дійсно, в цьому випадку знову-таки реально оцінюється. Тому достатньою умовою, щоб було первинним подільним, - φ коренеплідний. Але це стосується лише симетричних розподілів, тому воно набагато обмежене, ніж, наприклад, теорема Бёхнера . $\varphi^{1/2}$ $X$

— Сіань
джерело

6

Існують деякі особливі випадки, коли це справедливо, але для довільної дискретної випадкової величини ваше "наполовину" неможливо.

Сума двох незалежних біноміальних випадкових величин - це біноміальна випадкова величина, і тому двочлен може бути «вдвічі». Вправа: з’ясуйте, чи може біноміальна випадкова величина може бути «вдвічі». $(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
Аналогічно, від'ємна біноміальна випадкова величина може бути "вдвічі". $(2n,p)$
Сума двох незалежних випадкових величин Пуассона - Пуассона ; навпаки, випадкова величина Пуассона - це сума двох незалежних змінних Пуассона . Дійсно, як в коментарі вказує @ Xi'an, випадкова величина Пуассона може бути "вдвічі" стільки разів, скільки нам подобається: для кожного додатного цілого числа це сума незалежного Пуассона випадкова величина. $(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Діліп Сарват
джерело

2

+1 Мій спогад полягає в тому, що дискретна форма - це певний випадок, коли це неможливо (я вважаю, що є численні інші, але я це дивився).

— Glen_b -Встановіть Моніку

Дійсно, рівномірний розподіл можна розкласти, але не поділити у вищезгаданому сенсі.

— Сіань

2

Розподіл Пуассона є одним із прикладів нескінченно поділеного розподілу, тому його можна розділити на суму довільної кількості змінних iid.

— Сіань

-1

Проблема здається мені тим, що ви вимагаєте "незалежної копії", інакше ви можете просто помножити на ? Замість того, щоб писати копію (копія завжди залежить), вам, можливо, слід написати "дві незалежні, але однаково розподілені випадкові величини". $\frac{1}{2}$

Щоб відповісти на ваші запитання,

Найближче - це, можливо, термін згортка. Для даного , ви шукаєте два н.о.р. RV з сверткой . $X$ $X$
якщо ви приймаєте негативні ймовірності, це вже не випадкові величини, оскільки простору ймовірності вже немає. Є випадки, коли ви можете знайти таких ( -Poisson-розподілений, , -розподілений Пуассон), і випадки, коли це неможливо ( Бернуллі, як приклад). $Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
я не бачив жодного, і не уявляю, як формалізувати таке найкраще пристосування. Зазвичай наближення до випадкових величин вимірюється нормою на просторі випадкових величин. Я не можу придумати наближення випадкових змінних або до випадкових змінних.

Я сподіваюся, що я міг допомогти.

— матт
джерело