інваріантність кореляції з лінійним перетворенням:

Це фактично одна з проблем у 4-му виданні «Основна економетрія Гуджараті» (Q3.11) і говорить про те, що коефіцієнт кореляції інваріантний щодо зміни походження та масштабу, тобто

корр (а Х + б, c Y + г) = корр (Х, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$ де

a

$a$ ,

b

$b$ ,

c

$c$ ,

d

$d$ є довільними константами.

Але моє головне питання таке: Нехай $X$ і $Y$ бути парними спостереженнями та припустимо $X$ і $Y$ позитивно співвідносяться, тобто $\text{corr}(X,Y)>0$ . я знаю це $\text{corr}(-X,Y)$ буде негативно заснований на інтуїції. Однак якщо ми візьмемо $a=-1, b=0, c=1, d=0$ , з цього випливає

корр (- Х, Y) = корр (Х, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$ що не має сенсу.

Буду вдячний, якщо хтось може вказати на розрив. Дякую.

— Даніель
джерело

Якщо книга справді говорить те, що ви кажете, це неправильно; тобі потрібно

a c > 0

$ac>0$

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen_b Так, я думаю, що книга говорить про це неправильно, якщо тільки я не сліпий, оскільки я не бачу жодних умов, накладених на константи.

— Даніель

Можливо, що шкалу розуміють як позитивну величину.

— Сіань

@ Xi'an Це могло бути, але я не думаю, що це зазначено в книзі. Але велике спасибі за редагування та відповідь до речі :)

— Даніель

З тих пір

корр (Х, Y) = \frac{ков (Х, Y)}{вар (Х)^{1 / 2} вар (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$ і

ков (а Х + б, c Y + г) = а c ков (Х, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$ рівність

корр (а Х + б, c Y + г) = корр (Х, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$ має місце лише тоді, коли

a

$a$ і

c

$c$ є і позитивними, або обома негативними, тобто

a c > 0

$ac>0$ .

— Сіань
джерело