Який алгоритм оптимізації використовується у функції glm в R?

Можна виконати логіт-регресію в R, використовуючи такий код:

> library(MASS)
> data(menarche)
> glm.out = glm(cbind(Menarche, Total-Menarche) ~ Age,
+                                              family=binomial(logit), data=menarche)
> coefficients(glm.out)
(Intercept)         Age 
 -21.226395    1.631968

Схоже, алгоритм оптимізації зблизився - є інформація про номер кроків алгоритму оцінки рибалки:

Call:
glm(formula = cbind(Menarche, Total - Menarche) ~ Age, family = binomial(logit), 
    data = menarche)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.0363  -0.9953  -0.4900   0.7780   1.3675  

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -21.22639    0.77068  -27.54   <2e-16 ***
Age           1.63197    0.05895   27.68   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 3693.884  on 24  degrees of freedom
Residual deviance:   26.703  on 23  degrees of freedom
AIC: 114.76

Number of Fisher Scoring iterations: 4

Мені цікаво, який це оптимальний алгоритм? Це алгоритм Ньютона-Рафсона (спуск градієнта другого порядку)? Чи можу я встановити деякі параметри для використання алгоритму Коші (спуск градієнта першого порядку)?

Вам буде цікаво знати, що документація glm, до якої можна отримати доступ, ?glmдає багато корисних відомостей: methodми виявимо, що ітеративно переосмислені найменші квадрати - це метод за замовчуванням, для glm.fitякого функція робочих коней glm. Додатково в документації зазначається, що тут можуть бути надані визначені користувачем функції замість типових.

Використовуваний метод згадується у самому висновку: це Fisher Scoring. Це в більшості випадків еквівалентно Ньютону-Рафсону. Виняток становлять ситуації, коли ви використовуєте неприродні параметри. Приклад такого сценарію - відносна регресія ризику. Там очікувана та спостережувана інформація різні. Загалом, Ньютон Рафсон і Фішер скоринг дають майже однакові результати.

$p$$p(1-p)$Зарахування фішера. Крім того, це дає певну інтуїцію алгоритму ЕМ, який є більш загальною основою для оцінки складних ймовірностей.

Загальний оптимізатор за замовчуванням в R використовує числові методи для оцінки другого моменту, в основному на основі лінеаризації (будьте обережні до прокляття розмірності). Тож якби вам було цікаво порівняти ефективність та упередженість, ви могли б реалізувати наївну логістичну процедуру максимальної ймовірності з чимось подібним

set.seed(1234)
x <- rnorm(1000)
y <- rbinom(1000, 1, exp(-2.3 + 0.1*x)/(1+exp(-2.3 + 0.1*x)))
f <- function(b) {
  p <- exp(b[1] + b[2]*x)/(1+exp(b[1] + b[2]*x))
  -sum(dbinom(y, 1, p, log=TRUE))
}
ans <- nlm(f, p=0:1, hessian=TRUE)

дає мені

> ans$estimate
[1] -2.2261225  0.1651472
> coef(glm(y~x, family=binomial))
(Intercept)           x 
 -2.2261215   0.1651474 

Для запису наводиться проста чиста R реалізація алгоритму glm R, заснованого на оцінці Фішера (ітеративно переосмислені найменші квадрати), як пояснено в іншій відповіді:

glm_irls = function(X, y, weights=rep(1,nrow(X)), family=poisson(log), maxit=25, tol=1e-16) {
    if (!is(family, "family")) family = family()
    variance = family$variance
    linkinv = family$linkinv
    mu.eta = family$mu.eta
    etastart = NULL

    nobs = nrow(X)    # needed by the initialize expression below
    nvars = ncol(X)   # needed by the initialize expression below
    eval(family$initialize) # initializes n and fitted values mustart
    eta = family$linkfun(mustart) # we then initialize eta with this
    dev.resids = family$dev.resids
    dev = sum(dev.resids(y, linkinv(eta), weights))
    devold = 0
    beta_old = rep(1, nvars)

    for(j in 1:maxit)
    {
      mu = linkinv(eta) 
      varg = variance(mu)
      gprime = mu.eta(eta)
      z = eta + (y - mu) / gprime # potentially -offset if you would have an offset argument as well
      W = weights * as.vector(gprime^2 / varg)
      beta = solve(crossprod(X,W*X), crossprod(X,W*z), tol=2*.Machine$double.eps)
      eta = X %*% beta # potentially +offset if you would have an offset argument as well
      dev = sum(dev.resids(y, mu, weights))
      if (abs(dev - devold) / (0.1 + abs(dev)) < tol) break
      devold = dev
      beta_old = beta
    }
    list(coefficients=t(beta), iterations=j)
}

Приклад:

## Dobson (1990) Page 93: Randomized Controlled Trial :
y <- counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
outcome <- gl(3,1,9)
treatment <- gl(3,3)
X <- model.matrix(counts ~ outcome + treatment)

coef(glm.fit(x=X, y=y, family = poisson(log))) 
  (Intercept)      outcome2      outcome3    treatment2    treatment3 
 3.044522e+00 -4.542553e-01 -2.929871e-01 -7.635479e-16 -9.532452e-16

coef(glm_irls(X=X, y=y, family=poisson(log)))
     (Intercept)   outcome2   outcome3    treatment2   treatment3
[1,]    3.044522 -0.4542553 -0.2929871 -3.151689e-16 -8.24099e-16

Гарне обговорення придатних алгоритмів GLM, включаючи порівняння з Ньютоном-Рафсоном (який використовує спостережувану Гессіана на відміну від очікуваного Гессіана в алгоритмі IRLS) та гібридними алгоритмами (які починаються з IRLS, оскільки їх легше ініціалізувати, але потім Закінчення з подальшою оптимізацією за допомогою Ньютона-Рафсона) можна знайти в книзі "Узагальнені лінійні моделі та розширення" Джеймса У. Хардіна та Джозефа М. Хільбе .