Середнє значення вибраного штампу з нескінченного ряду рулонів

13

Якщо я перекидаю пару кубиків нескінченну кількість разів і завжди вибираю більш високе значення двох, чи очікуване середнє значення найвищих значень перевищить 3,5?

Здавалося б, це повинно бути, оскільки якщо я прокачу мільйон кубиків і щоразу вибираю найвищу цінність, шанси переважають, що в кожному рулоні будуть доступні шістдесят. Таким чином, очікуване середнє значення повинно бути чимось на зразок 5.999999999999 ...

Однак я не можу зрозуміти, яке очікуване значення буде у моєму прикладі, використовуючи лише 2 кістки. Чи може хтось допомогти мені прийти на номер? Це ледь перевищить 3,5? Це навіть щось, що можна порахувати?

dice

— Джейсон
джерело

3

Чи можете ви перерахувати пробний простір? Перерахуйте можливості для прикладу 2-х кубиків.

— soakley

6

Експеримент також можна імітувати. Цей підхід корисний, коли перерахування складно (наприклад, прокатка 3-х кубиків).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— Нішант
джерело

30

Для цього не потрібно використовувати моделювання, загальний випадок досить легко проаналізувати. Нехай - кількість кісток, а - максимальний рулон, зроблений під час прокатки кісток. $n$ $X$ $n$

Звідси випливає, що і взагалі

П (Х \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{н}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

П (Х \leq к) = {(\frac{к}{6})}^{н}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

П (Х = к) = П (х \leq к) - П (х \leq к - 1) = {(\frac{к}{6})}^{н} - {(\frac{к - 1}{6})}^{н} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

$n = 2$

— Ерік
джерело

2

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

11

Я пропоную просто опрацювати тривіальний випадок, щоб побачити відповідь.

Можливі результати прокатки двох кісток генерують матрицю 6x6:

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

Очікуване значення суми - 7. Це так, оскільки рулони однакові незалежні креслення, тому їх можна підсумувати. Очікування прокатки справедливого кубічного штампу - 3,5.

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

Обчисліть очікуване значення так:

Е [х] = Σ (х П (х)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

$n$ $n$ $n$

— d0rmLife
джерело

2

Якщо припустити, що кожна з 36 комбінацій має рівну ймовірність, нам просто потрібно додати значення кожної з 36 комбінацій і розділити на 36, щоб отримати середнє:

1 можливість: 11
3 можливості: 12, 21, 22
5 можливостей: 13, 23, 31, 32, 33
7 можливостей: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
9 можливостей: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 можливостей: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222.

— Briguy37
джерело

1

Роллер Troll Dice - це інструмент для пошуку ймовірностей кісток. У нього є документ, що пояснює реалізацію, але це досить академічно.

max(2d6) врожайність

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— ПитанняC
джерело