Довести / спростувати

Довести / спростувати$E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

---

З урахуванням відфільтрованого простору ймовірностей , нехай .$(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$$A \in \mathscr{F}$

Припустимо, Звідси випливає, що E [1_A | \ mathscr {F_ {s}}] = E [1_A | \ mathscr {F_t}] \ \ text {as} \ \ forall s> t \? А як щодо \ forall s <t ?

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$$ $$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$$ $\forall s < t$

Що робити, якщо натомість

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$$ Або що робити, якщо $$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$$

---

Що я спробував:

---

Якщо $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ , то $\Bbb E[1_A]=1$ , що те саме, що $1_A=1$ (майже напевно). У цьому випадку $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ (майже напевно) для кожного $s$ .

Аналогічно, якщо $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ , то $\Bbb E[1_A]=0$ , що те саме, що $1_A=0$ (майже напевно). У цьому випадку $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ (майже напевно) для кожного $s$ .

Якщо $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ , для постійної $p\in(0,1)$ , то маємо

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ . Це може вийти з ладу, якщо $s>t$ .

Альтернативно для випадку $= p$

Нехай $F$ - обмежена $\mathscr F_t$ -вимірювана випадкова величина.

$$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$$

$$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$$

що означає, що і незалежні. Іншими словами, і є незалежними. Тож і також незалежні, якщо і, отже, . Це може вийти з ладу, якщо .1 A F σ ( A ) F t σ ( A ) F s s < t E [ 1 A | F s ] = $1_A$$F$$\sigma(A)$$\mathscr F_t$$\sigma(A)$$\mathscr F_s$$s<t$ [ 1 A ] = p s $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$$s>t$

Я припускаю , що ідея полягає в тому, що константа одночасно залежить від і -ізмерімойF s F$\mathscr F_s$$\mathscr F_s$ .

Здається, ваш аргумент справедливий, але ви починаєте, припускаючи, що . Однак у питанні зазначено, що , що я вважаю, що випадкова величина приймає значення у множині тобто де . Визначальним властивістю цього умовного очікування є те, що для всіх . Зокрема, прийняття призводить до , з чого можна зробити висновок, щоЕ [ 1 А | F t ] = 1 E [ 1 A | F t ] ∈ { 0 , 1 } E [ 1 A | F t ] { 0 , 1 } E [ 1 A | F t ] = 1 B B ∈ F t ∫ F 1 B d P = ∫ $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]$$\{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$$B\in\mathscr{F_t}$ 1 A d P F ∈ F t F = B P $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$$F\in\mathscr{F_t}$$F=B$Б ) = P ( A ∩ B ) $P(B)=P(A\cap B)$$B\subset A$(крім можливого набору нуля ймовірності). Однак ми також знаємо (як у написаному вами аргументі), що тобто , тому єдиний можливий висновок - (за винятком можливого набору нуля ймовірності).Е [ Е [ 1 А | F t ] ] = E [ 1 B ] P ( A ) = P ( B ) A $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$$P(A)=P(B)$$A=B$

Для , , тому закон вежі для умовних очікувань передбачає, що . Але , тому . Отже всі умовні очікування для рівні (до ). Для , якщо ми все одно матимемо . З іншого боку, якщо ми повернемося до того часу, коли не в , я не думаю, що про це нічого не можна сказатиs > t F t ⊂ F s E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | F s ] E [ 1 A | F t ] = 1 A E [ 1 A | F s ] = 1 A s > t 1 A s < $s\gt t$$\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$s>t$$1_A$$s<t$ A ∈ F s E[ 1 A $A\in\mathscr{F_s}$F s ]= 1 A A F s E[ 1 A | F s ]A={ ω 2 }∈ F 2 ∖ F 1 E[ 1 A | F 0 ]=$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$A$$\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]$ загалом. Конкретний приклад див. У цій статті , малюнок 1. Взявши , наведено послідовність умовних очікувань , , , .$A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$8 1ΩE[1A| F1]=$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$2 1{ω1,ω2}E[1A| F2]=1{ω2}E[1A| F3]=1{ω2$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$