Я кілька разів бачив, як люди відкидають нуль у розширеному тесті Діккі-Фуллера , а потім стверджують, що він показує, що їх серія є нерухомою (на жаль, я не можу показати джерела цих тверджень, але я думаю, що подібні твердження існують тут і там у той чи інший журнал).

Я стверджую, що це непорозуміння (відхилення нуля одиничного кореня - це не обов'язково те саме, що мати стаціонарний ряд, тим більше, що альтернативні форми нестаціонарності рідко досліджуються або навіть розглядаються при виконанні таких тестів).

Чого я шукаю:

а) приємний чіткий контрприклад до претензії (я можу уявити собі пару зараз, але я думаю, що хтось, крім мене, матиме щось краще, ніж те, що я маю на увазі). Це може бути опис конкретної ситуації, можливо, з даними (імітованими або реальними; обидва мають свої переваги); або

б) переконливий аргумент, чому відхилення в розширеному Дікі-Фуллері слід розглядати як встановлення стаціонарності

(або навіть обидва (a) та (b), якщо ви почуваєтесь розумними)

Ось приклад нестаціонарної серії, яку не може виявити навіть тест на білий шум (не кажучи вже про тест типу Dickey-Fuller):

Так, це може бути дивно, але це не білий шум .

Більшість нестаціонарних прикладів лічильника ґрунтуються на порушенні двох перших умов стаціонарних: детерміновані тенденції (середнє постійне значення) або одиничний кореневий / гетерокедастичний часовий ряд (непостійна дисперсія). Однак ви також можете мати нестаціонарні процеси, які мають постійне середнє значення та дисперсію, але вони порушують третю умову: функція автоковаріації (ACVF) повинна бути постійною у часі та функцією | s - t | тільки.$cov(x_s, x_t)$$|s-t|$

Наведений вище часовий ряд є прикладом такого ряду, який має нульове середнє значення, дисперсію одиниці, але ACVF залежить від часу. Точніше, вищевказаний процес - локально стаціонарний процес MA (1) з такими параметрами, що він стає хибним білим шумом (див. Посилання нижче): параметр процесу MA змінюється час$x_t = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1}$

де - нормалізований час. Причина, по якій це виглядає як білий шум (навіть якщо за математичним визначенням це явно не є), полягає в тому, що час, що змінюється, ACVF інтегрується з нулем у часі. Оскільки зразок ACVF переходить до середнього ACVF, це означає, що автоковаріація зразка (і автокореляція (ACF)) буде конвергуватися у функцію, схожу на білий шум. Тож навіть тест Ljung-Box не зможе виявити цю нестаціонарність. У роботі (відмова: я - автор) у статті " Тестування білого шуму на місцевих стаціонарних альтернативах" пропонується розширити тести Box для розгляду таких локально стаціонарних процесів.$u = t/ T$

Більше коду R та додаткових відомостей див. У цій публікації в блозі .

Оновлення після коментаря mpiktas :

Це правда, що це може виглядати як теоретично цікавий випадок, який не спостерігається на практиці. Я погоджуюся, що навряд чи можна побачити такий хибний білий шум безпосередньо в наборі даних про реальний світ, але ви побачите це майже в будь-яких залишках нерухомої моделі. Не вдаючись до занадто багато теоретичних деталей, просто уявіть загальну модель, що змінюється за часом з функцією коваріації, що змінюється за часом γ θ ( k , u ) . Якщо ви підходите до постійної моделі & thetas , то ця оцінка буде близька до середнього часу істинної моделі & thetas ( у ) ; і, природно, залишки тепер будуть близькими$\theta(u)$$\gamma_{\theta}(k, u)$$\widehat{\theta}$$\theta(u)$ , який за конструкцією & thetas буде інтегрувати до нуля (приблизно). Докладніше див. У Goerg (2012).$\theta(u) - \widehat{\theta}$$\widehat{\theta}$

Давайте розглянемо приклад

library(fracdiff)
library(data.table)

tree.ring <- ts(fread(file.path(data.path, "tree-rings.txt"))[, V1])
layout(matrix(1:4, ncol = 2))
plot(tree.ring)
acf(tree.ring)
mod.arfima <- fracdiff(tree.ring)
mod.arfima$d


## [1] 0.236507

Таким чином , ми вписуємося дробовий шум з параметром г = 0,23 (так як г < 0,5 ми думаємо , все в порядку і у нас є стаціонарна модель). Давайте перевіримо залишки:$\widehat{d} = 0.23$$\widehat{d} < 0.5$

arfima.res <- diffseries(tree.ring, mod.arfima$d)
plot(arfima.res)
acf(arfima.res)

Виглядає добре? Ну, проблема полягає в тому, що залишки - хибний білий шум . Звідки я знаю? По-перше, я можу це протестувати

Box.test(arfima.res, type = "Ljung-Box")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 1.8757, df = 1, p-value = 0.1708

Box.test.ls(arfima.res, K = 4, type = "Ljung-Box")
## 
##  LS Ljung-Box test; Number of windows = 4; non-overlapping window
##  size = 497
## 
## data:  arfima.res
## X-squared = 39.361, df = 4, p-value = 5.867e-08

по-друге, з літератури ми знаємо, що дані про кільця дерев насправді є локально нерухомим дробовим шумом: див. Goerg (2012) та Ferreira, Olea та Palma (2013) .

Це показує, що мій - правда, теоретично приклад, насправді, зустрічається у більшості прикладів реального світу.

Приклад 1

Як відомо , одиничні кореневі процеси з сильним негативним компонентом МА призводять до випробувань ADF з емпіричним розміром, що значно перевищує номінальний (наприклад, Schwert, JBES 1989 ).

$T(\hat\rho-1)$

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  y <- cumsum(arima.sim(n = n, list(ma = -0.98)))
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift", selectlags="Fixed",lags=12*(n/100)^.25))@teststat[1] < -2.89)
}
mean(rejections)

Приклад 2

$Y_t$

Залежно від типу зміни дисперсії, тест АПД все ще часто відхиляється. У моєму прикладі нижче ми маємо розрив дисперсії вниз, що змушує тест "вважати", що ряд збігається, що призводить до відхилення нуля одиничного кореня.

library(urca)
reps <- 1000
n <- 100
rejections <- matrix(NA,nrow=reps)

for (i in 1:reps){
  u_1 <- rnorm(n/2,sd=5)
  u_2 <- rnorm(n/2,sd=1)
  u <- c(u_1,u_2)
  y <- arima.sim(n=n,list(ar = 0.8),innov=u)
  rejections[i] <- (summary(ur.df(y, type = "drift"))@teststat[1] < -2.89)      
}
mean(rejections)

(Убік тест АПД "втрачає" своє основне асимптотичне нульове розповсюдження за наявності безумовної гетерокедастичності.)

Тестування кореневих блоків, як відомо, важко. Використання одного тесту, як правило, недостатньо, і ви повинні бути дуже уважними щодо точних припущень, які використовує тест.

Спосіб побудови АПД робить його вразливим до ряду, який є простими нелінійними тенденціями з додаванням білого шуму. Ось приклад:

library(dplyr)
library(tseries)
set.seed(1000)
oo <- 1:1000  %>% lapply(function(n)adf.test(exp(seq(0, 2, by = 0.01)) + rnorm(201)))
pp <- oo %>% sapply("[[","p.value")

> sum(pp < 0.05)
[1] 680

Тут ми маємо експоненціальну тенденцію, і ми бачимо, що ADF працює погано. Він приймає нульовий корінь одиниці 30% часу і відкидає його 70% часу.

Зазвичай результатом будь-якого аналізу є не стверджувати, що серія є нерухомою чи ні. Якщо методи, що використовуються в аналізі, вимагають стаціонарності, неправильне припущення про те, що ряд є нерухомим, коли його насправді немає, зазвичай проявляється так чи інакше. Тож я особисто дивлюся на весь аналіз, а не лише на частину кореневої тестувальної частини. Наприклад, OLS та NLS прекрасно працюють для нестаціонарних даних, де нестаціонарність знаходиться в середньому, тобто в тренді. Тож якщо хтось помилково стверджує, що серія є нерухомою та застосовує OLS / NLS, ця претензія може бути нерелевантною.