Чому матриця проекцій ортогональної проекції симетрична?

Я зовсім новачок у цьому, тому сподіваюся, що ви пробачте мене, якщо питання буде наївним. (Контекст: я вивчаю економетрику з книги "Економетрична теорія та методи" Девідсона та МакКіннона , і, схоже, це не пояснюють; я також роздивився оптимізаційну книгу Луенбергера, яка займається прогнозами на трохи більш просунутому рівні, але без удачі).

Припустимо , що у мене є ортогональну проекцію з асоційована проекційної матриці . Мені цікаво проектувати кожен вектор у у якийсь підпростір .$\mathbb P$$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

Запитання : чому випливає, що , тобто симетричний? Який підручник я міг би подивитися на цей результат?T$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

Це фундаментальний результат лінійної алгебри на ортогональних проекціях. Порівняно простий підхід полягає в наступному. Якщо є ортонормальними векторами, що охоплюють -вимірний підпростір , а - матриця із стовпцями , то Це випливає безпосередньо з того факту, що ортогональну проекцію на можна обчислити через ортонормальну основу як З формули вище випливає, що це м U п × р у я Р = U U Т . x A A m ∑ i = 1 u i u T i x . Р 2 = Р Р Т = Р$u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$ і це$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Можна також навести інший аргумент. Якщо - матриця проекцій для ортогональної проекції, то, за визначенням, для всіх Отже, для всіх . Це показує, що , звідки x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - P T P ) y x , y ∈ R n P T = $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
$$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$Р = ( Р Т ) Т = ( Р Т Р ) Т = Р Т Р = Р Т$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Спроба геометричної інтуїції ... Нагадаємо, що:

1. Симетрична матриця є самосуміжним.
2. Скалярний добуток визначається лише компонентами у взаємному лінійному просторі (і незалежними від ортогональних компонентів будь-якого з векторів).

Те, що ви хочете "побачити", - це те, що проекція є самопримикаючою, таким чином, симетричною - наступною (1). Чому це так? Розглянемо скалярний добуток вектора з проекцією другого вектора : . Дотримуючись (2), добуток залежатиме лише від складових в проміжку проекції . Отже, продукт повинен бути таким самим, як , а також після того ж аргументу.$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$$y$$\langle Ax,Ay \rangle$$\langle Ax,y\rangle$

Оскільки є самосуміжним - він симетричний.$A$