t-розподіл, що має важчий хвіст, ніж звичайний розподіл

У моїх лекційних записках написано:

t-розподіл виглядає нормально, хоча і з трохи важчими хвостами.

Я розумію, чому це виглядало б нормально (через теорему про центральний межа). Але мені важко зрозуміти, як математично довести, що у нього важчі хвости, ніж у звичайного розподілу, і чи є спосіб виміряти, наскільки це важче, ніж звичайне.

Перше, що потрібно зробити - це формалізувати те, що ми маємо на увазі під «важчим хвостом». Можна умовно подивитися, наскільки висока щільність у крайньому хвості після стандартизації обох розподілів, щоб вони мали однакове розташування та масштаб (наприклад, стандартне відхилення):

(з цієї відповіді, яка також дещо відповідає вашому питанню )

[У цьому випадку масштабування насправді не має значення; t все одно буде "важчим", ніж нормальний, навіть якщо ви використовуєте дуже різні масштаби; нормальний завжди знижується]

Однак це визначення - хоча воно працює нормально для цього конкретного порівняння - не дуже узагальнює.

Більш загальне визначення тут набагато кращого визначення у відповіді Валера . Тож якщо важче хвоста, ніж$Y$$X$, як $t$ стає достатньо великим (для всіх $t>$ дещо $t_0$), тоді $S_Y(t)>S_X(t)$, де $S=1-F$, де $F$ - це cdf (для більш важких хвостів справа; з іншого боку є подібне, очевидне визначення).

Ось це і в лог-шкалі, і в квантильній шкалі нормальної, що дозволяє нам побачити більше деталей:

Тож тоді "доказ" більш важкої хвостивості передбачає порівняння cdfs та показує, що верхній хвіст t-cdf зрештою завжди лежить вище норми, а нижній хвіст t-cdf з часом завжди лежить нижче норми.

У цьому випадку найпростіше зробити порівняння густин, а потім показати, що відповідне відносне положення cdfs (/ функції виживання) повинно випливати з цього.

Так, наприклад, якщо ви можете це заперечити (у деяких даних $\nu$)

$x^2 - (\nu+1) \log(1+\frac{x^2}{\nu}) > 2\cdot\log(k)\qquad^\dagger$

для необхідної постійної $k$ (функція $\nu$), для усіх $x>$ дещо $x_0$, тоді можна було б встановити важчий хвіст для $t_\nu$ також щодо визначення з точки зору більшого $1-F$ (або більше) $F$ з лівого хвоста).

$^\dagger$ (ця форма випливає з різниці журналу густин, якщо це відповідає необхідному співвідношенню між щільністю)

[Насправді це можна показати будь-якому $k$ (а не лише конкретна, яка нам потрібна, від відповідних констант, що нормалізують щільність), тому результат повинен мати значення для $k$ нам потрібно.]

Один із способів побачити різницю - це використання моментів $E\{x^n\}.$

"Важкі" хвости означатимуть більш високі значення для рівних моментів потужності (потужність 4, 6, 8), коли дисперсія однакова. Зокрема, момент 4-го порядку (навколо нуля) називається куртозом і порівнює в певному сенсі важкість хвостів.

Докладніше див. У Вікіпедії ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kurtosis )

Ось офіційний доказ на основі функцій виживання. Я використовую таке визначення "важчий хвіст", натхненний wikipedia :

Випадкова величина $Y$ з функцією виживання $S_y(t)$ має більш важкі хвости, ніж випадкова величина $X$ з функцією виживання $S_x(t)$ iff

$$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \infty$$

Розглянемо випадкову змінну $Y$ розподіляється як t студента зі середнім нулем, ступенями свободи $\nu$ і параметр масштабу $a$. Ми порівнюємо це зі випадковою змінною$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$. Для обох змінних функції виживання диференційовані. Тому

$$\begin{align*} \lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} &= \lim_{t\to\infty}\frac{f_y(t)}{f_x(t)} = \exp \lim_{t\to\infty}\left(\log f_y(t) - \log f_x(t)\right)\\ &=\exp \lim_{t\to\infty}\left(-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right) - \left(-\frac{1}{2\sigma^2}t^2\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2\sigma^2}t^2-\frac{\nu+1}{2}\log\left(1+\frac{t^2}{\nu a^2}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}\frac{a^2}{\sigma^2}u - (\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)+C\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty}u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u}+\frac{C}{u}\right)\right) \end{align*}$$ Де ми підставили $u=t^2/a^2$. Зауважте, що$0<a^2/\sigma^2<\infty$ є постійною, $\lim_{u\to\infty} C/u = 0$ і $$\lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)\log\left(1+\frac{u}{\nu}\right)}{u} = \lim_{u\to\infty} \frac{(\nu+1)}{(1)(1+\frac{u}{\nu})(\nu)} = 0$$ Звідси по алгебраїчній граничній теоремі, $$\lim_{t\to\infty}\frac{S_y(t)}{S_x(t)} = \exp\left(\frac{1}{2}\lim_{u\to\infty} u\left(\frac{a^2}{\sigma^2} - (0) + (0)\right)\right) = \infty$$

Важливо, що результат має місце для довільних (кінцевих) значень $a$, $\sigma^2$, і $\nu$, тож у вас можуть виникнути ситуації, коли при розподілі є менша дисперсія, ніж у звичайного, але все ж мають більш важкі хвости.