Яке значення має суперскрипт 2 підрозділу 2 у контексті норм?

Я новачок в оптимізації. Я продовжую бачити рівняння , у яких праворуч від норми є суперскрипт 2 та підпис 2. Наприклад, ось рівняння найменших квадратів

хв $||Ax-b||^2_2$

Я думаю, що я розумію суперскрипт 2: це означає вирівняти значення норми. Але що таке індекс 2? Як я повинен прочитати ці рівняння?

regression optimization notation

— bernie2436
джерело

| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ -

ℓ_{p}

$\ell_p$ -норма

θ

$\theta$ . Скажімо

θ

$\theta$ є

d

$d$ - мірний, то

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$ .

— Собі

Одиничні вертикальні бруски використовуються для абсолютного значення (величини):

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi

Дякую! ... але для чого складається суперскрипт 2 ... Підписка призначена для pth норми ....

— матопт

@ user1467929: Квадратура - якщо це щось інше, вони б точно сказали.

— Scortchi

Відповіді:

Ви маєте рацію щодо надриву. Підписка задає -norm. $||.||_p$ $p$

Тому:

| | x_{i} | |_{p} = (\sum_{i} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

І:

| | x_{i} | |_{p}^{p} = \sum_{i} | x_{i} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
джерело

ах. І є умовності щодо значень підписок, які я бачу. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Так як 1 = норма такси, 2 = норма евкліда тощо

— bernie2436

@ bernie2436: Це окремі випадки загального визначення, наведеного у відповіді вище (крім, можливо, суп-норми з

)

p = \infty

$p = \infty$

— Майкл М

- евклідова норма вектора ; є квадратом евклидова норма . Зверніть увагу, що норма Евкліда, мабуть, є найбільш часто використовуваною нормою людей, звичайно скорочених . За визначенням при прийнятті евклідового векторного простору: $\|x\|_2$ $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ . $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Як згадується в коментарях, підписка відноситься до ступеня норми. Інші часто використовувані норми при , і . Для отримують кількість ненульових елементів у , для (тобто ) отримують норму Манхеттена, а для отримують максимальне абсолютне значення з елементів у . І і $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ популярні в налаштуваннях розріджених / стислих програм, де хочеться, щоб якийсь коефіцієнт (и) був нульовим. $p = 1$

— usεr11852 каже Відновити Моніку
джерело