Є контури

Я припускаю загальну настройку регресії, тобто безперервну функцію $h_\theta:X\to \mathbb R^n$ вибирається з родини $\{h_\theta\}_\theta$ відповідно до заданих даних $(x_i,y_i)\in X\times \mathbb R^n, i=1,\ldots, k$ ( $X$ може бути будь-який простір, наприклад куб $[0,1]^m$ або насправді будь-який розумний топологічний простір) за деякими природними критеріями.

Чи є додатки регресії, де хтось цікавиться контуром $h^{-1}(y)$ з $h$ на деякий момент $y\in \mathbb R^n$ - наприклад, нульовий набір $h^{-1}(0)$ ?

Пояснення мого інтересу полягає в наступному: Оскільки в багатьох ситуаціях існує невизначеність, пов'язана з вивченим $h_\theta$ (неточність або відсутність даних), можливо, потрібно проаналізувати нульовий набір $h^{-1}(0)$ "надійно". А саме, вивчіть особливості нульового набору, спільні для всіх "збурень" Росії $h$ . Нещодавно було розроблено дуже хороше розуміння в дуже загальній обстановці, де збурення $f$ можуть бути довільні безперервні карти, близькі до $h$ в $\ell_\infty$ норма. Або, по суті, рівнозначно, $f$ є довільним безперервним таким, що для кожного $x\in X$ ми маємо $|f(x)-h(x)|\le c(x)$ де $c:X\to\mathbb R$ дає певне значення впевненості у кожного $x$ .

Нашою основною мотивацією для розробки теорії та алгоритмів була захоплююча математика (фактично всі проблеми / питання зводяться до теорії гомотопії). Однак на сучасному етапі для подальшої розробки та реалізації алгоритмів нам потрібно вибрати більш конкретні настройки та цілі.

regression machine-learning multiple-regression

— Marek Krcal
джерело

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$ дає нам інформацію про

x_{i}

$x_i$ . Зазвичай, якщо нас цікавить

x_{i}

$x_i$ ми моделюємо їх, тобто будуємо модель де

x_{i}

$x_i$ є залежними змінними. Я маю на увазі тексти статистики, з якими я стикався. Мені було б цікаво, якби хтось продемонстрував це, аналізуючи

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$ взагалі цікаво. Для простої лінійної регресії де

h (x) = α + x β

$h(x)= \alpha+x\beta$ ми маємо

h^{- 1} (0) = \frac{- α}{β}

$h^{-1}(0)=\frac{-\alpha}{\beta}$ , важливість якої я намагаюся згадати. Я хотів би, щоб це було доведено інакше, здається, що те, що ти робиш, досить цікаво.

— mpiktas

@mpiktas Дякуємо за ваше зауваження. Ми мали на увазі випадки, коли

h_{θ}

$h_θ$ є нелінійним в

x_{i}

$x_i$ (наприклад, регресія через випадкові поля Гаусса, такі як у главі 2 посилання нижче), де проводиться аналіз

h^{- 1} (0)

$h^{−1}(0)$ було б набагато менш банальним. gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf

— Пітер Франек

Вибачте, що зіграв захисника диявола, але я прочитав розділ, але все ще не зрозумів, чому

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$ було б важливо. Нетривіальний так, але корисний, ні. Однак я був би радий, що це доведено інакше.

— mpiktas

Економісти часто цікавляться цим. Часто ми оцінюємо корисні функції споживачів $u: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ , де домен описує, скільки споживає кожен споживач, а діапазон - наскільки "щасливим" він робить його споживчий набір. Ми називаємо набори рівнів корисних функцій "кривими байдужості". Часто ми оцінюємо функції фірм за витратами $c: \mathbb R^n \times \mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$ , де дві частини домену - це кількість кожного продукту, який виробляє фірма, і ціни на кожен вхід, який фірма використовує у виробництві. Набори рівнів $c$ називаються кривими ізо-витрат.

Найчастіше властивості наборів рівнів, які нас цікавлять, - це нахили меж. Нахил кривої байдужості говорить вам, з якою швидкістю споживачі торгують різними товарами: "Скільки абрикосів ви б готові віддати за ще одне яблуко?" Нахил кривої ізо-вартості говорить вам (залежно від того, яка частина домену), наскільки замінними у виробництві є різні виходи (за однакових витрат, якщо ви виробили на 10 менших розмірів лез, тоді скільки ще шпильок ви могли б зробити) або як різні замінники вхідних даних.

Економісти повністю одержимі співвідношеннями перших часткових похідних, тому що ми одержимі компромісами. Думаю, це (завжди?) Можна вважати нахилами меж рівнів.

Інше застосування - розрахунок економічних рівноваг. Найпростіший приклад - система попиту та пропозиції. Крива пропозиції представляє, скільки виробників готові постачати за кожну ціну: $q=s(p)$ . Крива попиту представляє, скільки споживачів готові вимагати за кожну ціну: $q=d(p)$ . Візьміть довільну ціну, $p$ та визначити надлишковий попит як $e(p)=d(p)-s(p)$ . Рівноважні ціни є $e^{-1}(0)$ --- тобто це ціни, за якими ринки зрозумілі. $q$ і $p$ можуть бути векторами, і $d$ і $s$ як правило, нелінійні.

Те, що я описую в попередньому пункті (попит та пропозиція), - лише приклад. Загальне налаштування надзвичайно поширене. У Теорії ігор, можливо, ми зацікавлені в обчисленні рівноваги Неша в грі. Для цього ви визначаєте для гравця $i$ , функція (найкраща функція відповіді), яка дає найкращу стратегію, як діапазон, і які стратегії всі інші гравці грають як домен: $s_i=br(s^{-i})$ . Складіть їх усе у найкращу векторну функцію відповіді: $s=BR(s)$ . Якщо $s$ можна представити як дійсні числа, тоді можна визначити функцію, що дає відстань від рівноваги: $d(s)=BR(s)-s$ . Тоді $d^{-1}(0)$ - це сукупність рівноваг гри.

Від того, чи зазвичай економісти оцінюють ці відносини за допомогою регресії, залежить від того, наскільки широким є ваше визначення регресії. Зазвичай ми використовуємо інструментальну регресію змінних змінних. Також у випадку функцій корисності корисність не спостерігається, тому у нас є різні методи прихованої змінної для їх оцінки.

— Білл
джерело