Коефіцієнти прості

На іншому потоці є набагато більш широкий відповідь на @gung , що також має справу з відповідними технічними питаннями , такими як відношення шансів, але я буду дотримуватися теми під рукою: як інтерпретувати шанси, і в Зокрема , формулювання " до ". Як питання для початківців, варто подумати про те, як «шанси» виражаються у щоденному мовленні (особливо в мові ставок), а також те, що шанси означають для статистики, оскільки розбіжності між ними є проблематичними для учнів. $a$ $b$

Що стосується шансів, висловлених статистиком , ваше твердження є правильним. Припустимо, сумка містить чотири жетони, з яких три а один - , а один маркер обраний випадковим чином. Імовірність того, що обраний маркер аквамарин 3 з 4 -х , тобто , часто читав «3 в 4». При однаково вірогідних результатах шанси на аквамарин обчислюються як кількість сприятливих результатів (3), поділене на кількість несприятливих результатів (1), що , часто читається як $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$ $\color{brown}{\text{brown}}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{1} = 3$ $\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$ або так само, як число "три". Більш загально, ви можете взяти частку "сприятливих результатів над несприятливими результатами" та скасувати (розділити) як чисельник, так і знаменник на загальну кількість результатів, щоб отримати "ймовірність сприятливого результату над ймовірністю несприятливого результату", з якої трохи алгебри дає:

Odds = \frac{p}{1 - p} ⟹ p = \frac{Odds}{1 + Odds}

$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$

Коефіцієнти, висловлені букмекером, як правило, цитуються як "шанси проти" або "шанси на", і те, яким чином вони написані, здається, є частою причиною плутанини. У так званих британських шансах , дробових коефіцієнтах або традиційних коефіцієнтах шанси на аквамарин пишуться "3/1 на" або "3-1 на", читати як . * Для азартних гравців факт, що це "шанси на", означає, що акція в аквамарині становить 3 фунти, якщо успіх буде (вони насправді отримують £ 4, з яких £ 3 - це просто повернення початкової ставки), тоді як невдала ставка призводить до втрати пакету £ 3. Ми можемо бачити, що це " справедливі шанси" $\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$ "тому, що гравець має три шанси отримати 1 фунт і один шанс втратити £ 3, тому в середньому немає очікуваного прибутку чи втрати. Поки що так мало розбіжностей:" шанси на "є просто" шансами на користь " статистиками.

Для подій з 50-відсотковою ймовірністю, таких як голова на киданні монети - два однаково вірогідні результати успіху чи невдачі - статистик сказав, що шанси "один на один", або просто тоді як справедлива букмекерська контора дала б часткові коефіцієнти 1/1 (читати як "евенс"). Тож ніяких проблем тут теж немає; однак, коли ймовірність падає нижче 50%, ми бачимо, що букмекер продовжує цитувати більшу кількість у співвідношенні до меншої. $\frac{1}{1}$ $1$

Розглянемо гонку, в якій всі чотири коні (скажімо, F oinavon , G regalach , M on Mome і T ipperary Tim ) з однаковою ймовірністю виграють: тоді, з точки зору ймовірностей , ми би сказали, що кожен мав "1 на 4" або 0,25 шанс на перемогу. Якими були б справедливі шанси на ставку на, скажімо, Фойнавона? Існує лише один сприятливий результат (перемога для F) проти трьох несприятливих результатів (перемога для G, M або T), тож статистик описав би шанси як "1 на 3" або числово як $\frac{1}{3}$ . Однак букмекер, що використовує британські шанси, вважає, що шанси є "3 на 1 проти", і записують їх просто "3/1" або 3-1 "(обидва читають" три до одного "; " проти "неявно і йде негласне ). Для гравця, «шанси проти» означає частку £ 1 поверне £ 3 прибуток , якщо успішно (вони на насправді отримати £ 4, а £ 1 цього є повернення початкової ставки) , тоді як в разі невдачі вони втрачаєте частку £ 1. Азартний гравець має три шанси втратити £ 1 та один шанс отримати £ 3, тому знову очікується прибуток / збиток нуля, а шанси справедливі. На жаль, "шанси проти" (звичайна форма шансів ) не відповідає "шансам на користь" статистиків.

Кожен кінь у нашій гіпотетичній гонці здобув славу, вигравши Гранд-Націонал із коефіцієнтом 100/1: оскільки це були великі ("довгі") шанси проти , вони були " довгими пострілами ", які вважалися вкрай малоймовірними, а їхні прихильники були гарними нагороджений 100 фунтами прибутку за фунт, що нараховується. Якщо ми зробимо вигляд, що шанси букмекерів були справедливими шансами (які ігнорували б переклад букмекера, або "бідність" ), відчувалося, що існує 100 способів, коня можуть програти за кожний спосіб, коли кінь може виграти, тому мається на увазі ймовірність успіху був . Навпаки, якщо статистик стверджував, що подія має шанси "100 на 1", $\frac{1}{101}$ (з вірогідністю ). $\frac{100}{101}$

Якщо будь-який лайперсон у вашій аудиторії походить із країни, де букмекери використовують дробові шанси, і їх регулярно цитують у ЗМІ (наприклад, "Джеремі Корбін побив 100-1 шансів стати лідером лейбористської партії Великобританії", The Guardian , 11 вересня 2015; "11 мільйонів до одного: телята чотирикласних, народжених в Південній Австралії", Сідней Морнінг Херальд , 30 липня 2015 року), тоді цитування шансів у формі " до " майже напевно спричинить плутанину. $a$ $b$

Я бачив, як люди намагаються це, можливо, переконавшись, що "широкій громадськості більше знайомі шанси, ніж ймовірності", але статистики, мудрі до букмекерської контори, і, отже, ніколи не ставили ставок у своєму житті, можуть бути спіймані здивує, що популярна концепція шансів - "неправильний шлях". Якщо ця плутанина відчуває перевагу переваг рецептури « до » (особливо, якщо вона чітко виражає коефіцієнт вираження співвідношення сприятливого до несприятливого), то, можливо, буде краще виразити «статистичні шанси» як єдине число, щоб виділити їх із дробових шансів букмекера. Перш ніж подавати такі аудиторії статистичні шанси, я хоч би дав їм знати наступні моменти: $a$ $b$

Коефіцієнти статистики відповідають "шансам на" букмекера. Якщо ви звикли "протистояти", шанси статистиків можуть здатися "неправильним". Наприклад, "10 на 1" вказує на дуже ймовірну подію, а "1000 на 1" - на надзвичайно вірогідну!

Статистику не потрібно ставити перше вище число, тому шанси на зразок "2 до 3" можна використовувати для позначення "2 шанси на успіх до 3 шансів на невдачу" (тобто після багатьох випробувань співвідношення успішності та невдач повинно бути приблизно 2 : 3, отже, ймовірність успіху дорівнює ). $\frac{2}{5}$

Хоча букмекери вважають за краще ставити коефіцієнти у співвідношенні цілих чисел, ** статистики часто спрощують свої шанси у формі "щось до одного", навіть якщо це вводить десяткове значення (наприклад, "5 до 2" стає "2,5 до 1") .

Статистик може відмовитися від "до одного" і процитувати одне число (наприклад, коефіцієнт 3,5 означає "3,5 до 1" або "7 до 2", тому очікується, що довгострокове співвідношення успіху до відмов буде 7: 2, з якого ймовірність успіху легко бачити як ). $\frac{7}{9}$

У цій шкалі шанси нуля представляють неможливість; коефіцієнти від 0 до 1 вказують на менший, ніж рівний шанс; коефіцієнт 1 становить 50% шансів; шанси вище 1 вказують на те, що подія швидше, ніж ні; певна подія мала б нескінченні шанси.

Математично у нас є

{Odds}_{statistician} = {Odds on}_{British}; {Odds}_{statistician} = \frac{1}{{Odds against}_{British}}

$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$

Навіть цього може бути недостатньо, щоб уникнути плутанини. Десяткові коефіцієнти , також відомі як континентальний коефіцієнт або європейські шанси , стали більш поширеними в епоху онлайн-азартних ігор, особливо для бірж ставок та ігор, де часткові шанси небажані для відображення невеликих, швидких змін передбачуваних ймовірностей. Європейські шанси приводять виплату за одиницю розміщеної ставки , включаючи повернення частки . Для ставки на аквамарин виграшний пакет £ 3 приносить прибуток в розмірі 1 фунта, тому кожен ставлений £ 1 принесе прибуток приблизно 0,33 фунта (при виплаті 1,33 фунта). Таким чином, шанси на аквамарин в Європі приблизно $1.33$ . За викидання монети гравець, який зіграв 1 фунт, отримує виплату в розмірі 2 фунтів стерлінгів (у разі успіху) або 0 фунтів в іншому випадку, тож шанси в Європі становлять . За ставку 1 фунт на Foinavon, азартний гравець має виграшну суму в розмірі 4 фунтів стерлінгів, тому шанси на європейські кошти становлять . Можливо, ви помітили, що європейські шанси - це зворотна мається на увазі ймовірність успіху: щоб шанси були справедливими на ставку 1 фунт, очікувана виплата (яка є ймовірністю успіху, помножена на виграшну виплату) повинна дорівнювати £ 1 ставку, тому виграш виграш повинен бути зворотною ймовірністю. Оскільки знаходимо $2.00$ $4.00$ $\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

{Odds}_{statistician} = \frac{p}{1 - p} = \frac{1}{p^{- 1} - 1} = \frac{1}{{Odds}_{European} - 1}

$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$

Ми також могли б вивести це з відмітки (через європейські шанси, включаючи повернення частки у виплаті). $\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$

Європейські шанси мають кілька переваг для азартного гравця. Порівняння двох дробових шансів (спробуйте 8/15 проти 4/7) передбачає більші подвиги ментальної арифметики, ніж порівняння двох десяткових знаків. Невеликі зміни мається на увазі ймовірності працюють "плавно" для десяткової, тоді як форма дробу може повністю змінитись, оскільки потрібен інший знаменник. Розрахувати виплату з виграшу так само просто, як помножити частку на європейські шанси (наприклад, виграш акцій у розмірі 300 євро при європейських коефіцієнтах отримує виплату 450 євро, з яких 150 євро - прибуток). Зворотні відносини з масованою ймовірністю особливо корисні для виявлення "вартісних ставок": якщо гравець вважає, що справжня ймовірність успіху на ставку за європейськими шансами перевищує ставку " $1.50$ $6.00$ $\frac{1}{6}$ , ставка хороша, а очікуваний прибуток гравця - позитивний.

Однак статистику важче пояснити математичні шанси непрофесіоналу, який звик до європейських шансів! Як і британські "шанси проти", більш високі європейські шанси вказують на подію, яка вважається менш вірогідною ( для певності, для рівномірного шансу, для неможливості). Ще гірше, що цифри - це не просто "неправильний шлях", а цілком оманливий: уся концепція співвідношення сприятливих та несприятливих результатів була втрачена. $1.00$ $2.00$ $\infty$

Цей ключ концептуального ставлення буде збережено в MoneyLine системі , використовуваної в США спортивних ставок, навіть якщо він виглядає більш складним на перший погляд. Позитивні цифри вказують на прибуток (виключаючи повернення частки) на виграшну акцію , по суті та ж ідея, що і "шанси проти". Цифрова цифра +300 вказує на прибутку на ставці , що еквівалентно "3/1 [проти]" у британській системі або "1 на 3" для статистики (ставка Фойнавона). Негативні цифри вказують на необхідну частку для отримання прибутку в розмірі , що еквівалентно "шансам на". На рисунку -300 показано, що ставка становить $\$100$ $\$300$ $\$100$ $\$100$ $\$300$ $\$100$ прибуток, який становить "3/1 на" у британській системі або "3 на 1" для статистики (ставка на аквамарин).

{Odds}_{statistician} = {\begin{cases} \frac{| Moneyline |}{100} & if Moneyline < 0 \\ \frac{100}{Moneyline} & if Moneyline > 0 \end{cases}

$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$

Я дуже ціную цю відповідь, що стосується ставок та виплат, а не статистики, але я виявив, що щоденне використання "шансів" настільки помітно відрізняється від технічного визначення статистиків, що ретельне порівняння може усунути певну плутанину (обидві не -технічні азартні гравці та статистичні гравці, що не мають азартних ігор). Звичайно, існують глибокі історичні та філософські зв’язки між ставками та статистикою. Проблема точок стосувалася справедливого поділу призового фонду в перерваної азартній грі, і він генеруватися обговорення з часів середньовіччя. Коли Антуан Гомбо, шевальє де Мере, поставив версію проблеми в 1654 році, подальше листування Блеза Паскаля та П'єра де Фермаз цього питання заклали основи теорії ймовірностей. Зовсім недавно Френк Рамзі (у 1920-х роках) та Бруно де Фінетті (у 1930-х роках) дослідили узгодженість ставок (пов’язаних із явищем азартних ігор в голландській книзі ) як обґрунтування ймовірності Байєса: якщо суб'єктивні ймовірності агента чи ступінь віра не підкоряється аксіомам вірогідності , тоді вони є невідповідними і проти агента може бути складена голландська книга, піддаючи їм певну втрату. Енциклопедія філософії Стенфорда має статтю про «аргумент голландської книги» .

( ) Я навмисне тут надто спрощений у педагогічних цілях. Насправді букмекери не згідні з цим питанням: ці шанси цілком можуть бути написані "1/3" (означаючи "один до трьох проти"), хоча це все ще може читатися вголос як "три на один"! Однак, хоча букмекер може спочатку записати меншу кількість у шансах на ставку, вони ніколи не формуватимуть шанси на ставку таким чином: "1/3 на" теоретично буде таким самим, як "3/1 [проти]", але на практиці завжди буде цитуватися в останній формі. $*$

( ) На відміну від цього, букмекери не завжди скасовують цілі номери до найнижчих умов: "6/4" часто рекламується (" вушка "), тому, можливо, букмекери вважають, що прибуток становить 6 фунтів стерлінгів на пакет £ 4 є більш психологічно привабливим, ніж перспектива отримання прибутку в розмірі 3 фунтів на ставку 2 фунта. Я чув, як він стверджував, хоча правди, якої я не знаю, що "100/30" виживає, тому що "10 - 3" можна помилитися за час гонки. Гонконгські шанси - дробові коефіцієнти (проти) скасовуються до одиничного числа, тому "5/2 проти" стає 2,5; прибуток від виграшної ставки (за винятком повернення ставки) - це коефіцієнт Гонконг, помножений на частку. Коефіцієнти в Гонконзі нижче одного вказують на більше 50% шансів; вони є зворотними статистичними шансами. $**$

— Срібна рибка
джерело

Коли мені було 14 років і вперше вивчав статистику як окремий предмет у середній школі, у моєму підручнику ретельно вивчали азартні ігрові шанси та виплати проти ймовірностей та «статистичних шансів»: з ретроспективою рівень деталізації був досить тривожним :) Конкультери можуть сумувати відсутність суперечливої перемоги Великої національної національної перемоги Каугху 1947 року , єдиного іншого переможця 100/1, але, відповідаючи первісному питанню, я хотів порівняти "1 на 3" та "3 на 1", не залишаючи місця для Кауху в лінійці.

— Срібна рибка

Я не впевнений, чи відповідь Гунга зараз справді "набагато ширша";)

— Тім

Набагато глибша відповідь, ніж я думав, що це буде. +1

— Джессіка