Чи завжди середньовизначна випадкова величина завжди дорівнює інтегралу її квантильної функції?

Я щойно помітив, що інтегруючи квантильну функцію уніваріантної випадкової змінної (зворотний cdf) від p = 0 до p = 1, створюється середнє значення змінної. Я не чув про подібні стосунки раніше, тому мені цікаво: чи завжди це так? Якщо так, то ці стосунки широко відомі?

Ось приклад в python:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

Нехай $F$ - CDF випадкової величини $X$ , тому обернену CDF можна записати $F^{-1}$ . У вашому інтегралі зробіть підстановку $p = F(x)$ , $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ щоб отримати

$$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$$

Це справедливо для безперервного розповсюдження. Необхідно бути обережним для інших розподілів, оскільки обернений CDF не має унікального визначення.

Редагувати

Коли змінна не є неперервною, вона не має розподілу, який є абсолютно неперервним щодо міри Лебега, вимагає обережності у визначенні зворотного CDF та обережності при обчисленні інтегралів. Розглянемо, наприклад, випадок дискретного розподілу. За визначенням, це той, чий CDF $F$ є ступеневою функцією зі ступенем розміру $\Pr_F(x)$ при кожному можливому значенні $x$ .

На цьому малюнку показана CDF з Бернуллі $(2/3)$ розподіл масштабується $2$ . Тобто, випадкова величина має ймовірність $1/3$ з рівного $0$ , і ймовірність $2/3$ з рівного $2$ . Висоти стрибків при $0$ і $2$ дають свою ймовірність. Очікування цієї змінної , очевидно , дорівнює $0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$ .

Ми могли б визначити "зворотний CDF" $F^{-1}$ , вимагаючи

$$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$$

This means that $F^{-1}$ is also a step function. For any possible value $x$ of the random variable, $F^{-1}$ will attain the value $x$ over an interval of length $\Pr_F(x)$. Therefore its integral is obtained by summing the values $x\Pr_F(x)$, which is just the expectation.

Це графік зворотного CDF попереднього прикладу. Розриви і 2 / 3 в КОР стали горизонтальні лінії цих довжин на висотах , рівних 0 і 2 , значення в яких вони відповідають ймовірності. (Зворотне ВВР не визначений за межі інтервалу [ 0 , 1 ] .) Його інтеграл є сума двох прямокутників, один з висоти 0 і підставою 1 / 3 , а інший висоти 2 і підставою 2 / 3 , на загальну суму 4 /$1/3$$2/3$$0$$2$$[0,1]$$0$$1/3$$2$$2/3$$4/3$, як і раніше.

Загалом, для суміші безперервного та дискретного розподілу нам потрібно визначити зворотний CDF для паралельної цієї конструкції: при кожному дискретному стрибку висоти ми повинні формувати горизонтальну лінію довжиною p , задану попередньою формулою.$p$$p$

Еквівалентний результат добре відомий в аналізі виживання : очікуваний час життя де функцією виживання є S ( t ) = Pr ( T > t ), виміряна від народження при t = 0 . (Його можна легко розширити, щоб охопити негативні значення t .)

$$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$$ $S(t) = \Pr(T \gt t)$$t=0$$t$

Тож ми можемо переписати це як але це ∫ 1 q = 0 F - 1 (

$$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$$ як показано в різних відображеннях відповідної області $$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$$

We are evaluating:

Let's try with a simple change of variable:

And we notice that, by definition of PDF and CDF:

almost everywhere. Thus we have, by definition of expected value:

For any real-valued random variable $X$ with cdf $F$ it is well-known that $F^{-1}(U)$ has the same law than $X$ when $U$ is uniform on $(0,1)$. Therefore the expectation of $X$, whenever it exists, is the same as the expectation of $F^{-1}(U)$:

$$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$$ The representation $X \sim F^{-1}(U)$ holds for a general cdf $F$, taking $F^{-1}$ to be the left-continuous inverse of $F$ in the case when $F$ it is not invertible.

Note that $F(x)$ is defined as $P(X\le x)$ and is a right-continuous function. $F^{-1}$ is defined as

$$\begin{equation} F^{-1}(p)=\min(x|F(x)\ge p). \end{equation}$$ The $\min$ makes sense because of the right continuity. Let $U$ be a uniform distribution on $[0, 1]$. You can easily verify that $F^{-1}(U)$ has the same CDF as $X$, which is $F$. This doesn't require $X$ to be continuous. Hence, $E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1F^{-1}(p)\mathop{dp}$. The integral is the Riemann–Stieltjes integral. The only assumption we need is the mean of $X$ exists ($E|X|<\infty$).