Якщо

9

Це не домашнє завдання.

Нехай $X$ - випадкова величина. Якщо $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ та $\text{Var}[X] = 0$ , чи випливає, що $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Інтуїтивно це здається очевидним, але я не впевнений, як би це довів. Я знаю фактично, що з припущень випливає, що $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Так

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ Це, здається, не веде мене нікуди. Я можу спробувати

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ Тепер з

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , випливає, що

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ також.

Але якби я використовував рівність,

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ то мій інстинкт кишки - це

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , так що

X \equiv k

$X \equiv k$ .

Як я можу це знати? Я гадаю, доказ протиріччя.

Якщо ж , навпаки, $X \neq k$ для всіх $X$ , то $(X-k)^2 > 0$ , і $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ для всіх $X$ . Ми маємо протиріччя, тому $X \equiv k$ .

Чи мій доказ звучить - і якщо так, чи може бути кращий спосіб довести це твердження?

probability

— Кларнетист
джерело

@ user777 Спочатку я спробував цей метод (як ви бачите в моєму Рівняння ), але не знав, як діяти далі.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Кларнетист

3

Я вважаю, що нерівність Чебишева відповідає на це питання негайно.

— whuber

@whuber: принаймні, у Вікіпедії твердження про нерівність Чебишева прямо вимагає ненульової дисперсії. Я насправді не бачу, чи потрібен нам якийсь елементарний доказ для нульової дисперсії ...

— Стефан Коласа

1

@Stephan Ви можете легко змішати будь-який невироджений розподіл з діапазоном і застосувати нерівність, щоб показати, що для всіх і всі .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Ось міра теоретичного доказу для доповнення інших, використовуючи лише визначення. Ми працюємо на просторі ймовірностей . Зауважте, що і розглянемо інтеграл . Припустимо, що для деякого існує такий, що на і . Тоді наближає знизу, так що за стандартним визначенням як вершина інтегралів простих функцій, наближених знизу, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ що є протиріччям. Таким чином, , . Зроблено.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— еквалл
джерело

5

Доведіть це протиріччям. За визначенням дисперсії та ваших припущень у вас є

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

де є щільність ймовірності . Зауважимо, що і і неотримані. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Тепер, якщо , то $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

має міру більше нуля, і . Але потім $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

( тут може бути включений деякий аргумент -style) і тому $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

і ваше протиріччя.

— Стефан Коласа
джерело

2

Що таке ? Це те саме, що як? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

У всякому разі, очевидно, що

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

Припустимо

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Тоді

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

Останній крок, на який я вважаю, передбачає безперервність вірогідності ... або того, що ви зробили (Ви маєте рацію).

Тереза також нерівності Чебишева :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Добре ще раз говорити .

До речі, це так

\int_{R} х г Ж (х) = \int_{R} х^{2} г Ж (х)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Мені здається, що тоді як $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
джерело

1

Так, ти маєш рацію. Я відредагував пост

— кларнетист

@Clarinetist Відредагував і мою: P

— BCLC