Топології, для яких ансамбль розподілів ймовірностей завершений

Я досить багато боровся з узгодженням свого інтуїтивного розуміння розподілу ймовірностей із дивними властивостями, якими володіють майже всі топології розподілу ймовірностей.

Наприклад, розглянемо випадкову змінну суміші : виберемо Гаусса з центром у 0 з відхиленням 1 та з ймовірністю додати до результату. Послідовність таких випадкових змінних сходилася б (слабко і в сумарній варіації) до Гаусса з центром 0 при відхиленні 1, але середнє значення завжди дорівнює а дисперсії сходяться до . Мені дуже не подобається говорити, що ця послідовність зближується через це. $X_n$ $\frac{1}{n}$ $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

У мене було достатньо часу, щоб запам'ятати все, що я забув про топології, але я нарешті з’ясував, що мене таке невдоволення стосується таких прикладів: межа послідовності - це не звичайний розподіл. У наведеному вище прикладі межа є дивним "гауссом середнього значення 1 і нескінченною дисперсією". Топологічно кажучи, набір розподілів ймовірностей не є повним у слабкій ситуації (і ТБ, і всі інші топології, які я переглядав).

Потім у мене виникає таке питання:

чи існує така топологія, що ансамбль розподілів ймовірностей закінчений?
Якщо ні, то ця відсутність відображає цікаву властивість ансамблю розподілів ймовірностей? Або це просто нудно?

Примітка. Я поставив запитання про "розподіл ймовірностей". Вони не можуть бути закриті, оскільки вони можуть сходитись до Diracs та подібних речей, у яких немає PDF-файлу. Але заходи все ще не закриті в рамках слабкої топології, тому моє питання залишається

перехрещений на mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

— Гійом Дехен
джерело

Ви виявили, що множина всіх розподілів ймовірностей не дуже компактна . Я думаю, що компактність - це слово, яке вам потрібно, а не повнота. Відповідну концепцію компактності в цій обстановці часто називають герметичністю . Дивіться, наприклад, stats.stackexchange.com/questions/180139/…

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen Я думаю, що це надскладний, а не компактний завдяки теоремі Скорохода.

— Генрі.Л

У чому саме проблема в наведеному прикладі? Хіба що (слабке, скажімо) конвергенція не означає збіжність моментів? Навіщо це робити? І що це стосується повноти (обмеження існує в наведеному прикладі)?

— Майкл

Дивлячись на питання з більш вузького статистичного ракурсу (загальне математичне топологічне питання справедливе), факт, що послідовність моментів може не збігатися з моментами обмежувального розподілу, є загальновідомим явищем. Це, в принципі, автоматично не ставить під сумнів наявність добре обмеженого розподілу послідовності.

Обмежувальний розподіл вищевказаної послідовності - це добре сприйнятий розподіл з кінцевими моментами. Саме послідовність моментів не сходить. Але це різні послідовності e, послідовність, що складається з функцій наших випадкових величин (інтегралів, густин тощо), а не послідовності самих випадкових змінних, обмежувальний розподіл яких нас цікавить. $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ $N(0,1)$

— Алекос Пападопулос
джерело

Як це відповідає на питання?

— whuber

@whuber Ну, моя відповідь говорить про те, що існує така топологія, яку вимагає, чи ні, ОП, не має великої різниці зі статистичної точки зору.

— Алекос Пападопулос