Чи справедлива теорема Слуцького, коли обидві послідовності сходяться до невиродженої випадкової величини?

Мене бентежить деякі деталі теореми Слуцького :

Нехай , дві послідовності скалярних / векторних / матричних випадкових елементів.$\{X_n\}$$\{Y_n\}$

Якщо у розподілі до випадкового елемента а вірогідно до постійної , то умови, що є незворотним, де позначає конвергенцію розподілу.$X_n$$X$$Y_n$$c$

$$\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$$ $c$${\xrightarrow {d}}$

Якщо обидві послідовності в теоремі Слуцького обидві сходяться до невиродженої випадкової величини, чи теорема все-таки є дійсною, і якщо ні (чи може хтось навести приклад?), То які додаткові умови зробити її дійсною?

Теорема Слуцького не поширюється на дві послідовності, що сходяться в розподілах до випадкової величини. Якщо сходиться з розподілу до , цілком може не зійтися або можуть сходитися до чого - то іншому , ніж . Y X n + Y n X + $Y_n$$Y$$X_n+Y_n$$X+Y$

Наприклад, якщо для всіх х, не сходиться до різниці двох випадкових величин з розподілом само як . n X n + Y n$Y_n=-X_n$$n$$X_n+Y_n$$X$

Іншим зустрічним прикладом є те, що коли послідовності і є незалежними, і обидві конвергуються в розподілі до нормальної змінної , якщо одна визначає і , то Див відповідь на Давида для більш докладної інформації про це прикладі.{ Y n } N ( 0 , 1 ) X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X 2 = - X 1 X n d → X 1 Y n d → X 2 X n + Y n ⧸ d → X 1 + X 2 = $\{X_n\}$$\{Y_n\}$$\text{N}(0,1)$$X_1\sim\text{N}(0,1)$$X_2=-X_1$

Припустимо, що - гауссовий центр, вектор матриці коваріації з . Визначте і для . Тоді і , де і стандартні звичайні випадкові величини. Однак - гауссова, по центру, а її дисперсія - . Оскільки про розподіл нічого не відомо , ми не можемо стверджувати, що при розподілі.( 1 ρ $(X_0,Y_0)$$\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$X n : = X 0 Y n : = Y 0 n ⩾ 1 X n → X Y n → Y X Y X n + Y n 2 + 2 ρ X + Y X n + Y n$|\rho|\leqslant 1$$X_n:=X_0$$Y_n:=Y_0$$n\geqslant 1$$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X$$Y$$X_n+Y_n$$2+2\rho$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Цей приклад показує, що у нас, як правило, у розподілі та , але якщо у нас немає інформації про розподіл , конвергенція може не виконати.$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Звичайно, все добре, якщо при розподілі (наприклад, якщо не залежить від і від Загалом, ми можемо лише стверджувати, що послідовність є тісним (тобто для кожного позитивного ми можемо знайти такий, що ). Це означає що ми можемо знайти зростаючу послідовність цілих чисел , такі , що сходиться з розподілу до деякої випадкової величини .X $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$$X_n$$Y_n$$X$$Y$$(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$$\varepsilon$$R$$\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$Z$

Пропозиція. Існують послідовності випадкових змінних Гаусса і так що для будь-яких ми можемо знайти зростаючу послідовність цілих чисел такий, що конвергується в розподілі до .$(X_n)_{n\geqslant 1}$$(Y_n)_{n\geqslant 1}$$\sigma\in [0,2]$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$N(0,\sigma^2)$

Доказ. Розглянемо перерахування раціональних чисел і біекція . Для , визначте як вектор, орієнтований коваріаційної матриці . За допомогою цього вибору можна побачити, що висновок пропозиції задовольняється, коли раціональний. Використовуйте аргумент наближення для загального випадку.[ - 1 , 1 ] τ : N → N 2 n ∈ τ - 1 ( { j } ) × N ( X n , Y n ) ( 1 r j r j 1 )$(r_j)$$[-1,1]$$\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$$n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$$(X_n,Y_n)$$\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$$\sigma$