Як пов'язані функція помилок та функція стандартного нормального розподілу?

Якщо стандартний звичайний PDF -

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

і CDF дорівнює

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

як це перетворюється на функцію помилки ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
джерело

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Марк Л. Стоун

Я бачив це, але це починається з уже визначеного ERF.

— TH4454

Що ж, є визначення erf та визначення Normal CDF. Відносини, отримані за допомогою деяких рутинних обчислень, показані щодо того, як конвертувати між ними та як конвертувати між їх обертами.

— Марк Л. Стоун

Вибачте, я не бачу багатьох деталей. Наприклад, CDF становить від -Inf до x. Тож як ERF переходить від 0 до x?

— TH4454

Чи знайомі ви з методикою числення зміни змінної? Якщо ні, то навчіться це робити.

— Марк Л. Стоун

Оскільки це трапляється часто в деяких системах (наприклад, Mathematica наполягає на вираженні Normal CDF через ), добре мати нитку на зразок цієї, яка документує відносини. $\text{Erf}$

За визначенням, функція помилок є

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

З написання 2/2 випливає, що (оскільки не є негативним), звідки . Кінцеві точки і стають і . Щоб перетворити отриманий інтеграл у щось, що виглядає як кумулятивна функція розподілу (CDF), його слід виразити через інтеграли, які мають нижню межу , таким чином: $t^2 = z^2/2$ $t = z / \sqrt{2}$ $t$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Ці інтеграли з правого розміру є обома значеннями CDF стандартного нормального розподілу,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Зокрема,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Це показує, як виразити функцію помилок з точки зору нормального CDF. Алгебраїчне маніпулювання цим легко дає нормальний CDF з точки зору функції помилок:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

Цей взаємозв'язок (у будь-якому випадку з реальними числами) виявляється у графіках двох функцій. Графи - це однакові криві. Координати функції помилок зліва перетворюються на координати праворуч шляхом множення координат на , додавання до координат, а потім ділення координат на , відображаючи значення відносини $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

в якій позначення явно показує ці три операції множення, додавання та ділення.

— дзижчати
джерело

Я думаю, - правильний спосіб їх співвідношення, враховуючи середнє та стандартне відхилення.

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$

— Foad