Чому розподіл Пуассона обрано для моделювання процесів прибуття в задачах теорії черги?

Коли ми розглядаємо сценарії теорії черги, коли люди прибувають до обслуговуючого вузла і в черзі, зазвичай, для моделювання часу прибуття використовується процес Пуассона. Ці сценарії виникають при проблемах маршрутизації в мережі. Я вдячний інтуїтивно зрозумілим поясненням, чому процес Пуассона найкраще підходить для моделювання прибуття.

poisson-distribution intuition queueing

— Вігнеш
джерело

Процес Пуассона передбачає "безпам'ятний" час очікування до приходу наступного клієнта. Припустимо, середній час від одного клієнта до іншого становить . Безперервний безперервний розподіл ймовірностей до наступного прильоту - це той варіант, коли ймовірність очікування додаткової хвилини, секунди, години тощо до наступного прильоту не залежить від того, скільки часу ви чекали з моменту останнього . Якщо ви вже чекали п'яти хвилин з моменту останнього прибуття, це не робить більше ймовірним, що клієнт приїде в наступну хвилину, ніж це було б, якби ви зачекали лише 10 секунд з моменту останнього прибуття. $\theta$

Це автоматично означає, що час очікування до наступного приходу задовольняє , тобто це експоненціальний розподіл. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

І це, в свою чергу, може свідчити про те, що кількість клієнтів, що прибувають протягом будь-якого часового інтервалу довжини задовольняє $X$ $t$ , тобто має розподіл Пуассона з очікуваним значенням. Більше того, з цього випливає, що кількість клієнтів, що прибувають у часові інтервали, що не перетинаються, ймовірно незалежні. $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

Тож безпам'ятність часу очікування призводить до процесу Пуассона.

— Майкл Харді
джерело

Що б теореми не говорили, це експериментальний факт, що в нормальних ситуаціях прибуття без пам'яті. Ви не можете довести, що кількість покупців, які приїжджають за якийсь період, насправді нічого.

Намір питання не полягав у тому, щоб вимагати офіційного підтвердження. Багато разів проводяться спостереження, які призводять до теореми, а потім інтуїція «розвивається», щоб відповідати спостереженням і, таким чином, допомагає цементувати теорему в загальноприйнятому розумінні. Я шукав щось подібне. Я відредагував моє запитання, щоб включити те саме.

— Vighnesh

дякую за відповідь. Я не зовсім стежив за тим, як пам'ять, що менше прибуває, призводить до

. Чи можете ви, будь ласка, розробити або процитувати посилання, яке детально розповідає про це. Спасибі.

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Вігнеш

Безпам’ятність говорить

. Це те саме, що

. Подія

те саме, що подія

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

. Звідси умовна ймовірність

. Безпам’ятність говорить, що це те саме, що і

. Отже, маємо

. Монотонна функція

яка задовольняє

T > t + s

$T>t+s$

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$ ?

— vonjd

Pretty much any intro to queuing theory or stochastic processes book will cover this, e.g., Ross, Stochastic Processes, or the Kleinrock, Queuing Theory.

For an outline of a proof that memoryless arrivals lead to an exponential dist'n:

Let G(x) = P(X > x) = 1 - F(x). Now, if the distribution is memoryless,

G(s+t) = G(s)G(t)

i.e., the probability that x > s+t = the probability that it is greater than s, and that, now that it is greater than s, it's greater than (s+t). The memoryless property means that the second (conditional) probability is equal to the probability that a different r.v. with the same distribution > t.

To quote Ross:

"The only solutions of the above equation that satisfy any sort of reasonable conditions, (such as monotonicity, right or left continuity, or even measurability), are of the form:"

G(x) = exp(-ax) for some suitable value of a.

and we are at the Exponential distribution.

— jbowman
джерело

Robert Gallager's DRAFT OF STOCHASTIC PROCESSES: THEORY FOR APPLICATIONS (rle.mit.edu/rgallager/notes.htm) is a good free alternative for an introduction to stochastic processes including a discussion of the Poisson process

— Martin Van der Linden

Robert Gallager's RAFT OF STOCHASTIC PROCESSES: THEORY FOR APPLICATIONS

— Martin Van der Linden