Теорема Байєса з множинними умовами

Я не розумію, як було отримано це рівняння.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Це рівняння було виведене з статті "Проба з імовірністю", де в якості прикладу була подана справа О. Я. Сімпсона. Підсудного засуджено за подвійне вбивство та проти нього введено два докази.

$M_{1}$ - це випадок, коли кров підсудного відповідає краплі крові, виявленій на місці злочину. - це випадок, коли кров потерпілого порівнює кров на шкарпетку, що належить відповідачу. Припускаючи провину, поява одного доказу збільшує ймовірність іншого. є випадком, коли підсудний невинний, а - коли він винен. $M_{2}$ $I$ $I'$

Ми намагаємося отримати ПІДГОТОВКА про ймовірність того, що підсудний невинний, враховуючи два докази.

Дано значення для деяких змінних, але мене цікавить те, як отримано рівняння. Я намагався, але нікуди не потрапив.

Так, я вже перевірив "Питання, на які, можливо, вже є ваша відповідь".

bayesian conditional-probability bayes

— Сакурабе
джерело

Яке значення ? Це ?

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Сіань

@ Xi'an так є в іншій нотації

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Сакурабе

За теоремою Байєса: Тепер аргумент, який ви надали, стверджує це

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Якщо правда, то і є незалежними. Але якщо припустити провину, поява одного збільшила б ймовірність іншого. $I$ $M_1$ $M_2$

Тож і Отже,

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

Щоб отримати , зверніть увагу і оскільки поява збільшить ймовірність : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Франциск
джерело

Я спершу хочу подякувати, що знайшли час, щоб допомогти. Але я все ще трохи розгублений. Чи можете ви, будь ласка, додати числа рівнянь і вказати, де ви застосовуєте більш ранні рівняння для пізніших підстановок? Речі починають мати сенс, але я все ще не отримую нерівності після значень «і», і частина, де ви підставляєте в знаменник і вся справа стає нерівністю. Я здогадуюсь, пояснення того, як цитований аргумент із статті перекладено математично, допомогло б. Знову дякую!

— Сакурабе

@Sakurabe: краще?

— Франциск

Гаразд, тепер я зрозумів, як докази підкріплюють один одного. Останнє запитання, чи ми просто скинули від знаменника? Як у краплі без теореми чи чогось? Я маю на увазі, що це має певний сенс, оскільки це не переверне отриману нерівність з (2) плюс це також те, що я припускав, що вони робили в попередньому прикладі в роботі, що містить лише одне доказ ДНК (з позначенням +1 у знаменнику) ). Дякую, я дуже вдячний за вашу допомогу.

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— Сакурабе

@Sakurabe: Так, оскільки цей термін невід'ємний, тому його відміна зменшить знаменник.

— Франциск