Як взяти вибірку з дискретного розподілу на невід’ємні цілі числа?

10

У мене є такий дискретний розподіл, де відомі постійні: $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

Які існують деякі підходи до ефективного вибору з цього розподілу?

— jII
джерело

9

Це бета-негативний біноміальний розподіл з параметром у вашому випадку, використовуючи позначення Вікіпедії. Він також назвав розподіл Beta-Pascal, коли - ціле число. Як ви зазначали в коментарі, це прогнозний розподіл в баєсовій негативній біноміальній моделі з кон'югованою бета-версією до ймовірності успіху. $r=1$ $r$

Таким чином, ви можете взяти вибірку за допомогою вибірки змінної а потім відібрати від'ємну біноміальну змінну (з у вашому випадку, тобто сказати геометричний розподіл). $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

Цей розподіл здійснюється в пакеті R brr. У rbeta_nbinomвибірці є ім'я , у pmf є ім'я dbeta_nbinomта ін. Позначення , , . Перевірка: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

Дивлячись на код, можна побачити, що він фактично називає ghyper(узагальнену гіпергеометричну) сім'ю розподілів SuppDistsпакету:

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

В іншому випадку розподіл BNB відомий як генералізований гіпергеометричний розподіл типу IV . Дивіться допомогу ghyperв SuppDistsупаковці. Я вважаю, що це також можна знайти в книзі « Універсальні дискретні розподіли» Джонсона та ін .

— Стефан Лоран
джерело

Ця відповідь чудова, але було б навіть краще, якби ви довели, що розміщена ОП щільності така ж, як і негативна біноміальна щільність.

— Sycorax каже, що поверніть Моніку

1

@ user777 Я думаю, що автор ОП це довів сам, зважаючи на свій коментар до відповіді Сіану (задній прогнозний розподіл у негативній біноміальній моделі з кон'югатом до бета-версії).

— Стефан Лоран

10

Враховуючи, що зменшується з , я пропоную створити єдину змінну та обчислення сукупних сум поки Реалізація тоді дорівнює відповідній . З тих пір

\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > u

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} R_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} R_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ і обчислення можуть уникнути використання гамма-функцій взагалі.

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— Сіань
джерело

1

(+1) Використання значно прискорить робота.

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

— whuber

1

Знову редагуйте: я підозрюю, що використання функцій Gamma все-таки буде корисним у вирішенні з точки зору , та . Наприклад, можна було знайти початкове наближення до , використовуючи формулу Стірлінга при оцінці та а потім відполірувати це за допомогою декількох Ньютона-Рафсона кроки. Тим, хто потребує оцінки журнальної гами та її похідної. Звичайно, якщо і є невід'ємними, тоді рішення є коренем многочлена, але навіть тоді використання Гамми все-таки може бути шляхом.

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

1

Чудова відповідь! Я прийняв відповідь, надану SL, тому що він представив мою увагу ключовим моментом (не частиною оригінального питання), що вибірка з заднього передбачення еквівалентна вибірці параметра з заднього, а потім вибіркові дані з імовірності. Зокрема, функція розподілу, наведена вище, - це заднє передбачення геометричних даних з Beta, що передує параметру .

p

$p$

— jII