Сума коефіцієнтів багаточленного розподілу

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ Я кидаю чесну смерть. Щоразу, коли я отримую 1, 2 або 3, я записую '1'; щоразу, коли отримую 4, записую «2»; щоразу, коли я отримую 5 або 6, я записую "3."

Нехай - загальна кількість кидків, потрібних мені для добутку всіх чисел, які я записав, . Я хочу обчислити (або наблизити) , а наближення можна навести як функцію нормального розподілу.$N$$\geq 100000$$\P(N\geq 25)$

По-перше, я знаю, що тому що . Тепер, нехай , і - кількість разів, коли я записав відповідно 1, 2 і 3. Тоді:$\P(N\geq 11) = 1$$\log_3 100.000 \approx 10.48$$a$$b$$c$

$$\P(a,b,c\mid n) = \begin{cases}\displaystyle\binom {n}{a, b, c} \left(\frac 1 2\right) ^ a \left(\frac 1 6\right)^b\left(\frac 1 3\right)^c &\text{ if } a + b + c = n \\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$$

Я хочу обчислити:

$$\P(a + b + c \geq 25 \mid 2^b3^c\geq 100000)$$

Як я обчислюю це?

--EDIT:

Тож було запропоновано мені замінити умову на:

$$\P(a + b + c \geq 25 \mid \alpha a + \beta b + \gamma c \geq \delta)$$

де , , , і .$\alpha = 0$$\beta = \log 2$$\gamma = \log 3$$\delta = \log 100000$

Це виглядає більш вирішимо! Я, на жаль, досі не маю уявлення, як це вирішити.

Це питання - конкретний випадок, коли ви маєте справу з величиною, яка є лінійною функцією багаточленної випадкової величини. Вирішити свою проблему можливо точно, перерахувавши багаточленні комбінації, які задовольняють необхідну нерівність, і підсумовуючи розподіл за цим діапазоном. У випадку, коли великий, це може стати обчислювально нездійсненним. У цьому випадку можливо отримати приблизний розподіл, використовуючи нормальне наближення до багаточленного. Узагальнена версія цього наближення наведена нижче, а потім це застосовується до вашого конкретного прикладу.$N$

---

Загальна проблема наближення: Припустимо, у нас є послідовність змінних випадкових змінних з діапазоном . Для будь-якого ми можемо сформувати вектор рахунку , який рахує кількість виникнення кожного результату в перших значеннях послідовності. Оскільки основна послідовність є замінною, вектор лічильника розподіляється як:$1, 2, ..., m$$n \in \mathbb{N}$$\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X} (n) \equiv (X_1, X_2, ..., X_m)$$n$

$$\begin{array} \boldsymbol{X} \text{ ~ Mu}(n, \boldsymbol{\theta}) & & \boldsymbol{\theta} = \lim_{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}(n)/n. \end{array}$$

Тепер, припустимо, у нас є деякий вектор негативних ваг і ми використовуємо ці ваги для визначення лінійної функції:$\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, ..., w_m)$

$$A(n) \equiv \sum_{i=1}^m w_i X_i.$$

Оскільки ваги є негативними, ця нова кількість не зменшується в . Потім визначимо число - це найменша кількість спостережень, необхідних для отримання заданого мінімального значення для нашої лінійної функції. Ми хочемо наблизити розподіл у випадку, коли це значення (стохастично) велике.$n$$N(a) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | A(n) \geqslant a \}$$N(a)$

---

Розв’язання загальної задачі наближення: По-перше, зазначимо, що оскільки не зменшується в (що справедливо, тому що ми припустили, що всі ваги є негативними), ми маємо:$A(n)$$n$

$$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (N(a) > n - 1) = \mathbb{P} (A(n-1) < a).$$

Отже, розподіл безпосередньо пов'язано з розподілом . Припускаючи, що колишня величина велика, ми можемо наблизити розподіл останнього, замінивши дискретний випадковий вектор на безперервне наближення від багатофакторного нормального розподілу. Це призводить до нормального наближення для лінійної кількісності , і ми можемо безпосередньо обчислити моменти цієї величини. Для цього ми використовуємо той факт, що , та для . З деякою базовою алгеброю це дає нам:$N$$A$$\boldsymbol{X}$$A(n)$$\mathbb{E}(X_i) = n \theta_i$$\mathbb{V}(X_i) = n \theta_i (1 - \theta_i)$$\mathbb{C}(X_i, X_j) = -n \theta_i \theta_j$$i \neq j$

$$\mu \equiv \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i,$$

$$\sigma^2 \equiv \mathbb{V}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i - \left(\sum_{i=1}^m w_i \theta_i\right)^2 = \mu (1 - \mu).$$

Здійснюючи нормальне наближення до мультиноміалу, тепер ми отримуємо приблизний розподіл . Застосування цього наближення дає:$A(n) \text{ ~ N} (n \mu, n \mu (1 - \mu))$

$$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (A(n-1) < a) \approx \Phi \left(\frac{a - (n-1) \mu}{\sqrt{(n-1) \mu (1 - \mu)}}\right).$$

(Символ - стандартне позначення для стандартної функції нормального розподілу.) Можна застосувати це наближення, щоб знайти ймовірності, що відносяться до величини для заданого значення . Це основне наближення, яке не намагалося включити корекцію безперервності на значення базових значень багаточленного підрахунку. Він отримується шляхом прийняття нормального наближення, використовуючи ті ж перші два центральні моменти, що і точна лінійна функція.$\Phi$$N(a)$$a$

---

Застосування до вашої проблеми: у вашій проблемі є ймовірності , ваги і значення відсіку . Отже, у вас є (округлення до шести знаків після коми) . Застосовуючи вказане вище наближення (округлення до шести знаків після коми):$\boldsymbol{\theta} = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3})$$\boldsymbol{w} = (0, \ln 2, \ln 3)$$a = \ln 100000$$\mu = \tfrac{1}{6}\ln 2 + \tfrac{1}{3}\ln 3 = 0.481729$

$$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) \approx \Phi \left(\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}\right) =\Phi (-0.019838) = 0.492086.$$

Застосовуючи точний мультиноміальний розподіл, підсумовуючи всі комбінації, що задовольняють вимогу , можна показати, що точним результатом є . Отже, ми можемо бачити, що наближення досить близьке до точної відповіді в цьому випадку.$\mathbb{P}(A(24) < a)$$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) = 0.483500$

Сподіваємось, ця відповідь дає відповідь на ваше конкретне запитання, а також ставить її в більш загальні рамки ймовірнісних результатів, що застосовуються до лінійних функцій багаточленних випадкових векторів. Цей метод повинен дозволяти отримувати приблизні рішення проблем загального типу, з якими ви стикаєтесь, дозволяючи змінювати конкретні числа у вашому прикладі.

Зробимо нормальне наближення.

Спочатку давайте переформулюємо повністю вашу проблему в журналах. Ви починаєте о 0 в момент t = 0. Потім на кожному етапі ви додаєте:

• 0 з вірогідністю 1/2

• $\log(2)$ з вірогідністю 1/6

• $\log(3)$ з вірогідністю 1/3

Ви зупиняєте цей процес, коли сума перевищує в цей момент ви дивитесь, скільки ви виконали кидків. Кількість кидків, які вам знадобилися, щоб досягти цієї точки, становить ^$\log(10^5)$$N$

Мій калькулятор говорить мені, що середнє збільшення ваших приростів дорівнює: а дисперсія становить . Для довідки, кінцева точка знаходиться в тому ми досягнемо його приблизно за 24 кроки$\approx 0.48$$\approx 0.25$$\approx 11.51$

За умови, що ми зробили 25 кроків, розподіл суми є приблизно гауссовим з центром 12,0 та з відхиленням 6,25. Це дає нам приблизну гауссова приблизність$p(N\geq25)\approx 0.5$

Вам знадобиться переглянути кумулятори суми при N = 25, щоб знати, чи гаразд наближений Гаусс. З огляду на те, що прирости не симетричні, приблизне значення може бути не найкращим