Чи повинні нульові та альтернативні гіпотези бути вичерпними чи ні?

Я багато разів бачив твердження, що вони повинні бути вичерпними (приклади в таких книгах завжди були настільки складені, що вони були насправді), з іншого боку, я також багато разів бачив книги, які заявляють, що вони повинні бути ексклюзивними ( наприклад як та як ), не уточнюючи вичерпного питання. Тільки перед тим, як ввести це питання, я знайшов дещо сильнішу заяву на сторінці Вікіпедії - "Альтернативою не повинно бути логічного заперечення нульової гіпотези". $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

Чи міг би хтось досвідченіший пояснити, що правда, і я буду вдячний за те, що пролили трохи світла на (історичні?) Причини такої різниці (книги написали врешті-решт статистики, тобто вчені, а не філософи).

hypothesis-testing

— greenoldman
джерело

Відповіді:

В принципі, немає причин, щоб гіпотези були вичерпними. Якщо тест про параметр з є обмеженням , альтернативний може бути будь-якої форми тих пір , поки $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{a} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Приклад того, чому вичерпність не має особливого сенсу, є порівняння двох сімей моделей, та . У такому випадку вичерпність неможлива, оскільки альтернатива повинна була б охопити всі можливі імовірнісні моделі. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Сіань
джерело

Дякую, чи випадково ви знаєте, чому так часто бачимо, що ця вимога є вичерпною? Крім простого непорозуміння, адже це було б одне з найпоширеніших непорозумінь :-).

— greenoldman

Я не розумію прикладу. Якщо ви порівнюєте дві сімейства моделей і між ними, схоже, вичерпуються всі можливі моделі в сім'ї. Якщо ви дозволяєте нулю та альтернативи не охоплювати кожну таку модель, ви ускладнюєте процес оцінки теоретично-теоретичного ризику тесту (як теоретично, так і на практиці).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

@whuber: ти неправильно прочитав мій приклад. Як було написано вище, альтернатива складається з чітко визначеного сімейства моделей, де весь набір можливих значень, а не складається з усіх можливих імовірнісних моделей. Тому це не є вичерпним. Це критика, висловлена проти байєсівського підходу до тестування, дивіться, наприклад, філософа науки Дебора Майо в " Помилка і умовивід"

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— Сіань

Я думаю, що я правильно читаю ваш приклад, Сіане, але я чітко боюся з тим, що ви маєте на увазі під «вичерпним». Його використання у вашій відповіді та коментарях означає, що "включає всі розподіли ймовірностей", але в більшості ситуацій тестування гіпотез це не має значення. У сучасній ситуації "вичерпний" повинен означати ", що включає всі розподіли, включені в модель" (такі як усі нормальні розподіли для тесту нормальної теорії).

— whuber

Основна причина, по якій ви бачите вимогу, щоб гіпотези були вичерпними, - це проблема того, що станеться, якщо справжнє значення параметра знаходиться в області, яка не охоплена ні нульовою, ні альтернативною гіпотезою. Тоді тестування на рівні довіри стає безглуздим, або, що ще гірше, ваш тест буде упереджений на користь нуля - наприклад, однобічний тест форми проти , коли насправді . $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

Приклад: односторонній тест на vs з нормального розподілу з відомим та істинним . При розмірі вибірки 100 випробування на 95% буде відхилено, якщо , але 0,1645 насправді 2,645 стандартних відхилень вище справжнього середнього значення, що призводить до фактичного рівня тестування приблизно на 99,6%. $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Також ви виключаєте можливість здивуватися та дізнатися щось цікаве.

Однак можна також розглядати це як визначення простору параметрів як підмножини того, що зазвичай може вважатися простором параметрів, наприклад, середнє значення нормального розподілу часто вважається десь на реальній лінії, але якщо ми однобічний тест, ми фактично визначаємо простір параметрів як частину рядка, охопленого нулем та альтернативою.

— джебмен
джерело

Дякую, ви помилились у формулюванні, хоча не виключно, але вичерпно (перший рядок).

— greenoldman

Концептуально односторонній тест - це справді тест у формі проти а не проти . У елементарних експозиціях, особливо тих, що бачать в Інтернеті, ця відмінність заглиблена, але вона ретельно і правильно обробляється в статистичній літературі та хороших підручниках. Таким чином, ми не обмежуємо простір параметрів.

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

— whuber

whuber - звичайно, ти маєш рацію щодо однобічного тесту. Я намагався, хоч і невміло, описати, що може статися, якби гіпотези насправді не були вичерпними, що в цьому випадку виникне, якби нуль був . Якщо ми дійсно хочемо дотримуватися нульової точки та односторонньої альтернативи та маємо вичерпні гіпотези, мені здається, ми повинні переосмислити простір параметрів, як зазначено вище.

θ = 0

$\theta = 0$

— jbowman

Дійсно @whuber? Нульова гіпотеза в односторонньому тесті - це нерівність, що включає неперевірений хвіст? Це має для мене набагато більше сенсу! Але, як ви кажете, це було представлено в моєму курсі як точкова рівність. Дякуємо за роз’яснення.

— Джеймс