Розподіл безперервного рівномірного РВ, верхня межа якого є іншим безперервним рівномірним РВ

10

Якщо і , то чи можу я сказати, що $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

Я говорю про безперервні рівномірні розподіли з обмеженнями . Доказ (або спростування!) Буде вдячний. $[a, b]$

uniform distributions

6

Ні, це не так. У R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))досить чітко видно, що , звичайно, не рівномірно розподілений. (Я публікую це як коментар, оскільки ви попросили доказ, який не повинен бути важким, але якщо чесно, зважаючи на перекошену гістограму, я не вважаю, що доказ потрібен ...)

Y

$Y$

— Стефан Коласа

1

Зміна місця розташування та масштабу складає , у цьому випадку для будь-якого числа , умови

(і є

інакше). Використовуйте

для опрацювання цієї умовної ймовірності.

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

— whuber

13

Ми можемо вивести розподіл $Y$ аналітично. По-перше, зауважте, що саме $Y|X$ слід за рівномірним розподілом, тобто

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

і так

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

що не є рівномірним розподілом за рахунок . Ось як виглядає модельована щільність для розподілу , перекритого тим, що ми тільки що обчислили. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— ДжонК
джерело

6

Точно ні.

Для простоти визначимо . $a = 0, b = 1$

Тоді

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

Через сувору нерівність неможливо, що Unif (0,1). $Y \sim$

— Кліф АВ
джерело