Одностороння Чебішева нерівність на вищий момент

Чи є аналог вищому моменту нерівності Чебишева в однобічному випадку?

Нерівність Чебишева-Кантеллі, здається, працює лише на дисперсію, тоді як нерівність Чебишева може бути легко вироблена для всіх показників.

Хтось знає про однобічну нерівність із використанням вищих моментів?

Для зручності дозвольте позначати неперервну нульову середню випадкову величину з функцією густини і розглянемо де . Маємо де . Якщо є навіть ціле число , а будь-яке позитивне дійсне число, то і так $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ Таким чином, ми маємо, що для всіх позитивних дійсних чисел і , де найправіше очікування в - -й момент ( парний) про . При найменша верхня межа на виходить при дає однобічну нерівність Чебишева (або нерівність Чебишева-Кантеллі): Для більших значень мінімізація відносно$a$$b$(1)nnX-bn=2P{X≥a}b=σ2/aP{X≥a}≤σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$$b = \sigma^2/a$n $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$ - мiсьє.