Випадкові інтервали перекриття

Як я можу знайти аналітичний вираз у наступній задачі? $D(n,l,L)$

Я випадковим чином опускаю "брусків" довжиною в проміжок . "Бруски" можуть перекриватися. Я хотів би знайти середню загальну довжину інтервалу зайняту принаймні одним "бар". $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

У межі "низької щільності" перекриття повинно бути незначним і . У «високої щільності» межа, наближається . Але як я можу отримати загальний вираз для ? Це має бути досить фундаментальною статистичною проблемою, але я не зміг знайти пояснювальне рішення на форумах. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Будь-яка допомога буде дуже вдячна.

Зауважте, що бруски випадають справді випадковими (статистично незалежними) один від одного.

probability distributions

— Даніель
джерело

Це питання з курсу чи підручника? Якщо так, додайте [self-study]тег і прочитайте його вікі .

— gung - Відновіть Моніку

Ні це не так. можна легко обчислити середню зайняту довжину за допомогою комп'ютера за допомогою відбору проб, але ця проблема здається принциповою, що для її вирішення повинен бути теоретичний підхід. Оскільки всі мої спроби провалилися, мені було просто цікаво, як це зробити.

— Даніель

Яка ваша модель щодо того, як бруски "опускаються" на [0, L]? Чи можливо вони стирчать по краях? Редагувати: ваш малюнок та відповідь припускають, що це так.

— Адріан

Знайдіть ймовірність що даний НЕ прикритий - що є перетином iid подій. Тоді очікувана довжина непокритої частини просто .

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Ймовірність того, що точка в буде зайнята одним опущеним штрихом, є $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

Відповідно, ймовірність бути порожнім . Ймовірність того, що дана точка залишається порожньою після барів, є , і вона повинна бути зайнята $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

для великих . $n$

Тоді середня зайнята довжина в після випадкових "барних крапель" дорівнює $[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .

— Даніель
джерело

Ви на правильному шляху, але є деякі ознаки того, що може знадобитися більше обережності. Мабуть, найважливіше стосується того, що події, пов'язані з будь-якими двома пунктами, не є незалежними: що ж виправдовує множення ймовірностей? Я також вважаю, що ваш вираз для є невірним. Розглянемо, наприклад, випадок, коли . З малюнка виходить, ви припускаєте, що ліва кінцева точка планки має рівномірний розподіл на інтервалі . Отже, ймовірність того, що накрито, дорівнює , що не дорівнює .

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

— whuber

Дякую за підказки. Ви маєте рацію, я мав би написати, що між випадковими «малюнками» має бути нульова кореляція. І ви також маєте рацію, вищезазначене рішення діє лише тоді, коли бруски не дозволяють стирчати. Як можна вирішити проблему, коли ми дозволимо їм стирчати?

— Даніель

Моя думка полягає в тому, що навіть коли бруски опускаються випадковим чином і незалежно , для будь-якого заданого події "ця смужка охоплює точку " і "ця сама смужка охоплює точку " сильно взаємозалежні. Зокрема, якщо , вони не можуть відбуватися одночасно. Один із способів жорсткого вирішення цього питання - співвідношення ймовірностей із очікуванням.

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

— whuber

Зараз я розглядав прикордонні ефекти. Я розумію, що зайняття двох різних точок в інтервалі співвідносне, але я не бачу, як це вплине на рішення.

— Даніель