Чи є прийняте визначення медіани вибірки на площині чи вищих упорядкованих пробілів?

Якщо так, то що? Якщо ні, то чому б і ні?

Для вибірки на лінії медіана мінімізує повне абсолютне відхилення. Здавалося б, природно розширити визначення на R2 тощо, але я його ніколи не бачив. Але потім я давно був у лівому полі.

Я не впевнений, що існує одне прийняте визначення для багатоваріантної медіани. Мене знайоме - серединна точка Ожі , яка мінімізує суму обсягів симплетів, утворених над підмножинами точок. (Технічне визначення див. За посиланням.)

Оновлення: на веб-сайті, на яке посилається визначення Оя вище, також є приємний документ, що охоплює ряд визначень багатоваріантної медіани:

• Геометричні міри глибини даних

Як заявив @Ars , немає прийнятого визначення (і це хороший момент). Є загальні сімейства альтернативних способів узагальнення квантових елементів на , я вважаю, що найбільш значущими є:$\mathbb{R}^d$

• Узагальнити квантильний процес Нехай- емпірична міра (= частка спостережень в). Тоді, за допомогоюдобре вибраного підмножини наборів Бореля втареальна цінна міра, ви можете визначити емпіричну квантильну функцію:A A R d$P_n(A)$$A$$\mathbb{A}$$\mathbb{R}^d$$\lambda$

  $U_n(t)=\inf (\lambda(A) : P_n(A)\geq t A\in\mathbb{A})$

  Припустимо, ви можете знайти один який дає мінімум. Тоді множина (або елемент множини) дає вам медіану, коли зроблений досить малим. Визначення медіани відновлюється при використанні та . Відповідь Ars потрапляє в цю рамку, я думаю ... місце розташування половинного простору Тукі може бути отримане за допомогою та (з , ).1 / 2 - & epsi ; ∩ 1 / 2 + & epsi ; & epsi ; = ( ] - ∞ , х ] х ∈ R ) λ ( ] - ∞ , $A_{t}$$A_{1/2-\epsilon}\cap A_{1/2+\epsilon}$$\epsilon$$\mathbb{A}=(]-\infty,x] x\in\mathbb{R})$( ) = ( Н х = ( t ∈ R d$\lambda(]-\infty,x])=x$$\mathbb{A}(a)=( H_{x}=(t\in \mathbb{R}^d :\; \langle a, t \rangle \leq x )$х ∈ R ∈ R$\lambda(H_{x})=x$$x\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}^d$

• варіаційне визначення та M-оцінка . Ідея тут полягає в тому, що кількіснийвипадкової змінноївможе бути визначений через варіаційну рівність.Q α Y $\alpha$$Q_{\alpha}$$Y$$\mathbb{R}$

  • Найпоширенішим визначенням є використання функції квантової регресії (також відома як втрата пінболу, здогадуйтесь чому?) . Випадок даєі ви можете узагальнити цей вищий розмір, використовуючи відстані як це зроблено в @Srikant Answer . Це теоретична медіана, але дає емпіричну медіану, якщо ви заміните очікування емпіричним очікуванням (середнім). ; Q & alpha ; = г г інф х ∈ R Е [ р & alpha ; ( У - х ) ] & alpha ; = 1 /$\rho_{\alpha}$$Q_{\alpha}=arg\inf_{x\in \mathbb{R}}\mathbb{E}[\rho_{\alpha}(Y-x)]$$\alpha=1/2$l $\rho_{1/2}(y)=|y|$$l^1$

  • Але Колшинський пропонує використовувати перетворення Легенда-Фенхеля: оскільки де для . Він наводить багато глибоких причин для цього (див. Статтю;)). Узагальнення цього на більш високі розміри вимагає роботи з векторіальною та заміною на але ви можете взяти .f ( s ) = $Q_{\alpha}=Arg\sup_s (s\alpha-f(s))$s∈R& alphas& alpha⟨s,& alpha⟩& alpha=(1/2,...,1/2$f(s)=\frac{1}{2}\mathbb{E} [|s-Y|-|Y|+s]$$s\in \mathbb{R}$$\alpha$$s\alpha$$\langle s,\alpha\rangle$$\alpha=(1/2,\dots,1/2)$

• Часткове впорядкування Ви можете узагальнити визначення квантилів уяк тільки ви зможете створити частковий порядок (з класами еквівалентності).$\mathbb{R}^d$

Очевидно, є мости між різними складами. Вони не всі очевидні ...

Існують чіткі способи узагальнення поняття медіани до вищих вимірів. Ще не згаданий, але запропонований давно, - це сконструювати опуклий корпус, відшаровувати його та повторювати на довгий час: те, що залишилося в останньому корпусі, - це набір точок, які всі кандидати мають бути " медіани ».

"Удар головою" - ще одна нещодавня спроба (близько 1980 р.) Побудувати надійний центр до хмари 2D точок. (Посилання - на документацію та програмне забезпечення, доступні в Національному інституті раку США.)

Основна причина, чому існує багато різних узагальнень, і немає жодного очевидного рішення, полягає в тому, що R1 можна замовити, але R2, R3, ... не може бути.

Геометрична медіана - точка з найменшою середньою евклідовою відстані від зразків

Медіану напівпростору Тукі можна розширити на> 2 виміри, використовуючи DEEPLOC, алгоритм, зумовлений Струйфом та Руссеу; дивіться тут деталі.

Алгоритм використовується для ефективного наближення точки найбільшої глибини; наївні методи, які намагаються точно визначити це, зазвичай стикаються з (обчислювальною версією) "прокляття розмірності", де час виконання, необхідний для обчислення статистики, зростає в експоненціальному вимірі з кількістю вимірів простору.

Визначення, яке наближається до нього, для одномодальних розподілів, є медіаною напівпростору тукі

• http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/Geometric-Estimators/halfspace.html
• http://www.isical.ac.in/~statmath/html/publication/Tukey_tech_rep.pdf
• https://www.isical.ac.in/~statmath/report/11310-15.pdf

Я не знаю, чи існує таке визначення, але я спробую розширити стандартне визначення медіани до . Я буду використовувати наступні позначення:$R^2$

, Y : випадкові величини, пов'язані з двома вимірами.$X$$Y$

, m y : відповідні медіани.$m_x$$m_y$

: спільний pdf для наших випадкових змінних$f(x,y)$

Щоб розширити визначення медіани до , виберемо m x і m y, щоб мінімізувати наступне:$R^2$$m_x$$m_y$

$E(|(x,y) - (m_x,m_y)|$

Зараз проблема полягає в тому, що нам потрібно визначення того, що ми маємо на увазі під:

$|(x,y) - (m_x,m_y)|$

Вищезазначене в певному сенсі є метрикою відстані і можливі декілька можливих визначень кандидата.

Евклідова метрика

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = \sqrt{(x-m_x)^2 + (y-m_y)^2}$

$f(x,y)$

Метрика такси

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = |x-m_x| + |y-m_y|$

$X$$Y$$x$$y$