Pdf квадрата стандартної нормальної випадкової величини [закрито]

У мене є ця проблема, коли я повинен знайти pdf з . Я знаю лише те, що має розподіл . Який вид розподілу ? Те саме, що і ? Як знайти pdf?$Y = X^2$$X$$N(0,1)$$Y = X^2$$X$

Ви натрапили на один із найвідоміших результатів теорії й статистики ймовірностей. Я напишу відповідь, хоча я впевнений, що це питання було задано (і відповіли) раніше на цьому сайті.

По-перше, зауважимо, що pdf у не може бути таким, як у оскільки буде невід'ємним. Для отримання розподілу ми можемо використовувати три методи, а саме mggf-техніку, cdf-техніку та техніку перетворення щільності. Давайте почнемо.$Y = X^2$$X$$Y$$Y$

Техніка функціонування функції моменту .

Або характерна техніка функції, що завгодно. Треба знайти mgf . Тому нам потрібно обчислити очікування$Y=X^2$

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Використовуючи закон Непритомного статистика , все , що ми повинні зробити , це обчислити цей інтеграл по розподілу . Таким чином, нам потрібно провести обчислення$X$

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

де в останньому рядку ми порівняли інтеграл із інтегралом Гаусса із середнім нулем та дисперсією . Звичайно, це інтегрується в єдине по реальній лінії. Що ви можете зробити з цим результатом зараз? Ну, ви можете застосувати дуже складне обернене перетворення та визначити pdf, що відповідає цьому MGF, або ви можете просто визнати його як MGF розподілу в квадратних точках з однією ступенем свободи. (Нагадаємо, що розподіл у квадраті є особливим випадком розподілу гамми з , є ступенями свободи та ).$\frac{1}{\left(1-2t\right)}$$\alpha = \frac{r}{2}$$r$$\beta = 2$

Техніка CDF

Це, мабуть, найпростіша річ, яку ви можете зробити, і це пропонує Glen_b у коментарях. Відповідно до цієї методики, ми проводимо обчислення

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

і оскільки функції розподілу визначають функції густини, після отримання спрощеного виразу ми просто диференціюємо відносно щоб отримати наш pdf. У нас тоді$y$

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

де позначає CDF стандартної нормальної змінної. Диференціюючи по відношенню до ми отримуємо,$\Phi(.)$$y$

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

де тепер pdf стандартної нормальної змінної, і ми використали той факт, що вона симетрична приблизно нулю. Звідси$\phi(.)$

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

який ми розпізнаємо як pdf-розподілу з чі-квадратом з одним ступенем свободи (ви, можливо, вже бачите шаблон).

Техніка перетворення щільності

$Y = g(X)$$Y$

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

$y$$g$$X$$Y$$g$

$X$$Y= g(X)$$g$$Y$

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

де сума працює над усіма оберненими функціями. Цей приклад дасть зрозуміти.

$y = x^2$$x = \pm \sqrt{y}$$\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

pdf дистрибутива чі-квадрата з одним ступенем свободи. Зі сторони, я вважаю цю методику особливо корисною, оскільки вам більше не доведеться отримувати CDF перетворення. Але звичайно, це особисті смаки.

---

Таким чином, ви можете лягти спати сьогодні вночі, повністю впевнені, що квадрат стандартної нормальної випадкової величини відповідає розподілу c-квадрата з однією ступенем свободи.