Чи слід розглядати дельта-функцію Дірака як підклас розподілу Гаусса?

У Вікідата можна пов'язати розподіли ймовірностей (як і все інше) в онтології, наприклад, що t-розподіл є підкласом нецентрального t-розподілу, див., Наприклад,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Існують різні обмежуючі випадки, наприклад, коли ступінь свободи в t-розподілі переходить до нескінченності або коли дисперсія наближається до нуля для нормального розподілу (розподіл Гаусса). В останньому випадку розподіл піде в бік дельтової функції Дірака.

Зауважу, що в англійській Вікіпедії параметр дисперсії в даний час зазначений як більший за нуль, тому при чіткому тлумаченні не можна було б сказати, що дельта-функція Дірака є підкласом нормального розподілу. Однак мені це здається цілком нормальним, оскільки я б сказав, що експоненціальний розподіл - це надклас дельтової функції Дірака.

Чи є якісь проблеми з твердженням, що дельта-функція Дірака є підкласом розподілу Гаусса?

Дельта Дірака розцінюється як розподіл Гаусса, коли це зручно робити, і не так розглядається, коли ця точка зору вимагає від нас винятків.

Наприклад, як кажуть , що користуються багатоваріантним гауссовим розподілом, якщо - гауссова випадкова величина для всіх варіантів реальних чисел . (Примітка. Це стандартне визначення в "розширеній" статистиці). Оскільки одним вибором є , стандартне визначення трактує константу (вироджена випадкова величина) як гауссова випадкова величина (із середнім значенням та дисперсією ). З іншого боку, ми ігноруємо наше враження про дельту Дірака як розподіл Гаусса, коли ми розглядаємо щось подібне∑ i a i X i a 1 , a 2 , … , a n a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 0 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

"Функція кумулятивного розподілу ймовірностей (CDF) нульової середньої гауссової випадкової величини зі стандартним відхиленням є де є CDF стандартної гауссової випадкової величини. "F X ( x ) = P { X ≤ x } = Φ ( $\sigma$Φ(⋅

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

Зауважимо, що це твердження майже правильне, але не зовсім правильне, якщо ми розглядаємо дельту Дірака як граничний випадок послідовності нульових середніх гауссових випадкових величин, стандартне відхилення яких наближається до (а отже, і до випадкової змінної Гаусса). CDF дельти Дірака має значення для тоді як$0$x ≥ 0 lim σ → 0 Φ ( $1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ Але багато людей скажуть вам, що відносно дельти Дірака як розподілу Гаусса є суттєвою нісенітницею, оскільки їхня книга говорить про те, що дисперсія гауссової випадкової величини повинна бути позитивною цифрою (і деякі з них будуть відповідати голосом цей відповідь, щоб показати їх незадоволення). Кілька років тому на stats.SE було дуже бурхливе та яскраве обговорення цього питання, але, на жаль, це було лише у коментарях до відповіді (автор @Macro, я вважаю), а не як індивідуальні відповіді, і я не можу його знову знайти .

Функції дельти вписуються в математичну теорію розподілів (що досить відрізняється від теорії розподілів ймовірностей , термінологія тут не може бути більш заплутаною).

По суті, розподіли - це узагальнені функції. Вони не можуть бути оцінені як функція, але можуть бути інтегровані. Точніше, розподіл визначається наступним чином$D$

Нехай - сукупність тестових функцій . Тестова функція - це справжня, чесна для Бога функція, гладка, з компактною підтримкою. Розподіл - це лінійне відображенняθ D : T → $T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Чесна функція визначає розподіл оператором інтеграції$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

Існують розподіли, які не пов'язані з істинними функціями, оператор дірак є одним з них

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

У цьому сенсі ви можете вважати дірак обмежуючим випадком нормальних розподілів. Якщо - це сім'я звичайних розподілів pdf із середнім нулем та дисперсією , то для будь-якої тестової функції$N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

Це, мабуть, частіше виражається як

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

який математик вважав би зловживанням позначенням, оскільки вираз насправді не має жодного сенсу. Але знову ж таки, хто я, щоб критикувати Дірака, хто найкращий.$\delta(x)$

Звичайно, чи це робить дірак членом сім'ї нормальних розподілів - це питання культури. Ось я лише навожу причину, чому це може мати сенс вважати таким.

Ні. Це не підклас нормального розподілу.

Я думаю, що плутанина походить від одного з представлень функції Дірака. Пам'ятайте, що це визначено так:

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

Отже, найкраще подумати про функцію Дірака з точки зору її цілісного визначення та взяти функції представлення, наприклад Гаусса, як інструменти зручності.

ОНОВЛЕННЯ До точки зору @ whuber, кращим рівним прикладом є таке представлення дельти Дірака:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

Чи схоже це на вас з лаплаціанською дистрибуцією ? Чи не слід розглядати тоді дельту Дірака як підклас лаплакійського розподілу?