Чи має цей розподіл назву?

23

Мені сьогодні прийшло в голову, що розподіл можна розглядати як компроміс між Гауссом та Лапласом розподіли для таЧи має такий розподіл назву? І чи має вираз його константа нормалізації? Обчислення мене обминає, тому що я не знаю, як навіть почати розв’язувати для в інтегралі

f (х) \propto досвід (- \frac{| х - мк |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = С \cdot \int_{- \infty}^{\infty} досвід (- \frac{| х - мк |^{p}}{β}) г х

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax каже, що відновіть Моніку
джерело

34

Коротка відповідь

Описаний вами pdf найбільш доречно відомий як розподіл Subbotin ... див. Статтю 1923 року Subbotin, яка має точно таку ж функціональну форму, скажімо . $Y = X-\mu$

Субботін, М. Т. (1923), Про закон частоти помилок, Математичний сборник, 31, 296-301.

хто вводить pdf у своєму рівнянні 5, форми:

f (у) = К досвід [- {(\frac{| у |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

з постійною інтеграцією: , відповідно до деривації Xian, де $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Більш довга відповідь

На жаль, Вікіпедія не завжди є "сучасною", або точною, або іноді лише на 80 років поза часом. Після Суботіна (1923 р.) Поширення широко використовувалося в літературі, включаючи:

Діананда, PH (1949), Примітка про деякі властивості максимальної оцінки правдоподібності, Праці Кембриджського філософського товариства, 45, 536-544.
Тернер, М.Є. (1960), Про методи евристичного оцінювання, Біометрія, 16 (2), 299-301.
Зекгаузер, Р. та Томпсон, М. (1970), Лінійна регресія з ненормальними термінами помилок, Огляд економіки та статистики, 52, 280-286.
McDonald, JB та Newey, WK (1988), Частково адаптивна оцінка регресійних моделей за допомогою узагальненого розподілу t, Економетрична теорія, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. and Balakrishnan, N. (1995), Безперервні універсальні розподіли, том 2, 2-е видання, Wiley: New York (1995, с.422)
Mineo, AM та Ruggieri, M. (2005), Програмний інструмент для розподілу експоненціальної потужності: пакет normalp, Journal of Statistics Software, 12 (4), 1-21.

... все до статті, на яку посилався Wiki. Окрім того, що 80 років застаріло, ім'я, яке використовується у Вікі "Узагальнена нормальна", також видається недоречним, оскільки існує нескінченність розповсюджень, які є узагальненнями Нормального, а назва, в будь-якому випадку, неоднозначна для літератури. Він також не визнає оригінального автора.

— вовки
джерело

17

З очевидних причин ви можете позбутися μ і β, тому все, що залишилося, є Звідси

\int_{0}^{\infty} досвід {- х^{p}} г х \overset{у = х^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} досвід {- у} | \frac{г х}{г у} | г у \overset{х = у^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} досвід {- у} \frac{1}{p} у^{\frac{1}{p} - 1} г у = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} досвід {- β^{- 1} | х - мк |^{p}} г х = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Сіань
джерело

2

D'oh. Звичайно. І випадково ви дізнаєтесь, чи має вона ім’я?

— Sycorax каже, що повернеться до Моніки

1

Це дещо пов'язане з [розподілами Weibull і Fréchet] ( en.wikipedia.org/wiki/… ), однак вони мають термін влади перед експоненцією. Таким чином, це більше гауссова розподіл для іншої метрики, ніж квадратична відстань.

— Сіань

1

+1 Неправильно було б називати це дистрибутивом "Гамма влади".

— whuber

13

$p\in [1,2]$

Посилання, надане у Вікіпедії, - Saralees Nadarajah (2005) Узагальнене нормальне поширення , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. У цій статті йдеться про те, що константа нормалізації визначається шляхом «простої інтеграції» - я припускаю відповідь Сіаня.

— Юхо Коккала
джерело