Корисність теореми Фріш-Ва

Я повинен викладати теорему Фріша Во з економетрики, яку я не вивчав.

Я зрозумів математику, яка стоїть за ним, і я сподіваюся, що ідея "коефіцієнт, який ви отримуєте для конкретного коефіцієнта з декількох лінійних моделей, дорівнює коефіцієнту простої регресійної моделі, якщо ви" усунете "вплив інших регресорів". Тож теоретична ідея є якось крутою. (Якщо я абсолютно не зрозумів, я вітаю виправлення)

Але чи є в ньому класичні / практичні звички?

EDIT : Я прийняв відповідь, але все ще бажаю отримати нові, які пропонують інші приклади / програми.

— Ентоні Мартін
джерело

Очевидною буде додана змінна ділянка ?

— Срібна рибка

Догерті в Введення в економетрику згадує ще один приклад використання теореми Фріш-Уо-Ловелл. У перші дні економетричного аналізу часових рядів це було досить часто в моделях, де змінні мали детерміновані тенденції часу, щоб зменшити їх до регресу. Але за допомогою FWL ви отримуєте однакові коефіцієнти, просто включивши часовий тренд як регресор, і, крім того, це дає "правильні" стандартні помилки, оскільки він визнає, що 1 df таким чином було спожито.

— Срібна рибка

Даґерті застерігає від процедури, тож у цьому відношенні це не чудовий приклад, навіть якщо він повчальний. Економічні змінні часто здаються різницевими, а не тенденційними, тому подібні спроби ушкодження не спрацьовують і можуть призвести до помилкових регресій.

— Срібна рибка

@Silverfish: FWL - це суто алгебраїчна методика, тому питання про те, чи є вилучення детермінованого тренду "правильним", враховуючи основний DGP, без сумніву, важливий, але не має відношення до FWL, тому в цьому сенсі ваш приклад є цілком справедливим для ОП ставлять питання про два способи отримання бальних оцінок.

— Крістоф Ганк

Я використовував цей взаємозв'язок у багатьох посадах, в першу чергу для концептуальних цілей і для надання цікавих прикладів явищ регресії. Див., Зокрема , stats.stackexchange.com/a/46508 , stats.stackexchange.com/a/113207 та stats.stackexchange.com/a/71257 .

— whuber

Відповіді:

Розглянемо модель даних на панелі з фіксованими ефектами, також відому як модель змінних манекерів з найменшими квадратиками (LSDV).

можна обчислити, безпосередньо застосувавши OLS до моделі де -матриця манекенів, а - індивідуально-специфічні фіксовані ефекти. $b_{LSDV}$

y = X β + D α + ϵ,

$y=X\beta+D\alpha+\epsilon,$

D

$D$

N T \times N

$NT\times N$

α

$\alpha$

Інший спосіб обчислити - застосувати так звану внутрішню трансформацію до звичайної моделі, щоб отримати зруйновану її версію, тобто Тут , матриця залишкового виробника регресії на $b_{LSDV}$

M_{[D]} y = M_{[D]} X β + M_{[D]} ϵ .

$M_{[D]}y=M_{[D]}X\beta+M_{[D]}\epsilon.$

M_{[D]} = I - D (D^{'} D)^{- 1} D^{'}

$M_{[D]}=I-D(D'D)^{-1}D'$

D

$D$

По теоремі Фріш-Уо-Ловелл, два еквівалентні, так як FWL каже , що ви можете вирахувати підмножина регресії коефіцієнтів регресії ) по $\hat\beta$

регресує на інших регресорах (тут, ), зберігаючи залишки (тут, збиті часом або , тому що регресія на константі просто знижує змінні), тоді $y$ $D$ $y$ $M_{[D]}y$
регресування на та збереження залишків та $X$ $D$ $M_{[D]}X$
регресують невязки один на одного, на . $M_{[D]}y$ $M_{[D]}X$

Друга версія набагато ширше застосовується, оскільки типові набори даних панелей можуть мати тисячі панельних блоків , так що перший підхід вимагає від вас регресії з тисячами регресорів, що не є хорошою ідеєю чисельно навіть в наш час комп'ютери, оскільки обчислення зворотного було б дуже дорогим, тоді як зменшення часу і коштує мало витрат. $N$ $(D :X)'(D: X)$ $y$ $X$

— Крістоф Ганк
джерело

Велике спасибі, це такий варіант відповіді, який я шукав, хоча для мене це реально використовувати. Тож моя відповідь зі мною добре, але я був би радий, якщо у мене є інші, чи повинен я прийняти твій?

— Ентоні Мартін

Якщо б це допомогло, було б доцільно це зробити. Але прийняття зменшить ваші шанси на отримання кращих відповідей, тому ви можете зачекати, перш ніж приймати цю. Щедрість ще більше збільшить ваші шанси отримати більше відповідей - враховуючи, що не вистачає користувачів на резюме, які регулярно відповідають на запитання з урахуванням кількості запитань, навіть одна відповідь може змусити інших активних користувачів зробити висновок, що цим питанням займалися. (Я розмістив дещо простішу відповідь нижче.)

— Крістоф Хенк

Ось спрощена версія моєї першої відповіді, яка, на мою думку, є менш практичною, але, можливо, простіше "продати" для використання в класі.

y_{i} = β_{1} + \sum_{j = 2}^{K} β_{j} x_{i j} + ϵ_{i}

$y_i = \beta_1 + \sum_{j=2}^K\beta_jx_{ij} + \epsilon_i$

y_{i} - \bar{y} = \sum_{j = 2}^{K} β_{j} (x_{i j} - {\bar{x}}_{j}) + {\tilde{ϵ}}_{i}

$y_i-\bar{y} = \sum^K_{j=2}\beta_j(x_{ij} - \bar{x}_j) + \tilde{\epsilon}_i$

{\hat{β}}_{j}

$\widehat{\beta}_j$

j = 2, \dots, K

$j=2,\ldots,K$

x_{1} = 1 := (1, \dots, 1)^{'}

$\mathbf{x}_1=\mathbf{1}:=(1,\ldots,1)'$

M_{1} = I - 1 (1^{'} 1)^{- 1} 1^{'} = I - \frac{1 1^{'}}{n},

$M_\mathbf{1}=I-\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1}\mathbf{1}'=I-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}'}{n},$

M_{1} x_{j} = x_{j} - 1 n^{- 1} 1^{'} x_{j} = x_{j} - 1 {\bar{x}}_{j} =: x_{j} - {\bar{x}}_{j} .

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1} n^{-1}\mathbf{1}'\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1}\bar{x}_j=:\mathbf{x}_j-\bar{\mathbf{x}}_j.$

M_{1} x_{j}

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j$

y_{i}

$y_i$

— Крістоф Ганк
джерело

Ось ще одна, більш опосередкована, але я вважаю цікавою, а саме зв’язок між різними підходами до обчислення коефіцієнта часткової автокореляції стаціонарного часового ряду.

Визначення 1

{\hat{Y}}_{t} - μ = α_{1}^{(m)} (Y_{t - 1} - μ) + α_{2}^{(m)} (Y_{t - 2} - μ) + \dots + α_{m}^{(m)} (Y_{t - m} - μ)

$\begin{equation} \hat{Y}_{t}-\mu=\alpha^{(m)}_1(Y_{t-1}-\mu)+\alpha^{(m)}_2(Y_{t-2}-\mu)+\ldots+\alpha^{(m)}_m(Y_{t-m}-\mu) \end{equation}$

m

$m$

α_{m}^{(m)}

$\alpha^{(m)}_m$

$m$ $Y_t$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ $\rho_m$ $Y_t$ $Y_{t-m}$

$\alpha^{(m)}_j$ $Z_t$ $X_t$

E [X_{t} (Z_{t} - X_{t}^{⊤} α^{(m)})] = 0

$\begin{equation} E[X_t(Z_t-X_t^\top\mathbf{\alpha}^{(m)})]=0 \end{equation}$

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

α^{(m)} = [E (X_{t} X_{t}^{⊤})]^{- 1} E [X_{t} Z_{t}]

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=[E(X_tX_t^\top)]^{-1}E[X_tZ_t] \end{equation}$

Z_{t} = Y_{t} - μ

$Z_t=Y_t-\mu$

X_{t} = [(Y_{t - 1} - μ), (Y_{t - 2} - μ), \dots, (Y_{t - m} - μ)]^{⊤}

$X_t=[(Y_{t-1}-\mu),(Y_{t-2}-\mu),\ldots,(Y_{t-m}-\mu)]^\top$

E (X_{t} X_{t}^{⊤}) = (\begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array})

$E(X_tX_t^\top)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)$

E (X_{t} Z_{t}) = (\begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix})

$E(X_tZ_t)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)$

α^{(m)} = {(\begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix})

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)\end{equation}$

m

$m$

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

Отже, ми начебто запускаємо множину регресії і знаходимо один коефіцієнт інтересу, контролюючи інші.

Визначення 2

$m$ $Y_{t+m}$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ $Y_{t}$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$

Отже, ми спочатку контролюємо проміжні відставання, а потім обчислюємо співвідношення залишків.

— Крістоф Ганк
джерело