У CLT, чому

10

Нехай - незалежні спостереження з розподілу, що має середнє значення та дисперсію , коли , то $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Чому це означає, що

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
джерело

Можливо, це було недостатньо чітко наголошено нижче, але твердження є математично значущим і правдивим, тоді як твердження математично абсурдно, отже, як висловлюється, навіть не помилково .

\sqrt{н} \frac{{\bar{Х}}_{н} - мк}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

{\bar{Х}}_{н} \sim N (мк, \frac{σ^{2}}{н})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— Чи

17

Ви трактуєте трохи неправильно. Центральна гранична теорема (CLT) передбачає це

{\bar{Х}}_{н} \overset{бл}{\sim} N (мк, \frac{σ^{2}}{н}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Це тому, що CLT є асимптотичним результатом, і ми на практиці маємо справу лише з кінцевими зразками. Однак, коли розмір вибірки є досить великим, тоді ми припускаємо, що результат CLT є вірним у наближенні, і таким чином

\begin{aligned} \sqrt{н} \frac{{\bar{Х}}_{н} - мк}{σ} & \overset{бл}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{н} \frac{{\bar{Х}}_{н} - мк}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{н}} & \overset{бл}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{н}} N (0, 1) \\ {\bar{Х}}_{н} - мк & \overset{бл}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{н}) \\ {\bar{Х}}_{н} - мк + мк & \overset{бл}{\sim} мк + N (0, \frac{σ^{2}}{н}) \\ {\bar{Х}}_{н} & \overset{бл}{\sim} N (мк, \frac{σ^{2}}{н}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Це тому, що для випадкової величини і константи , (це використовується на другому кроці) і , (це використовується на другому останньому кроці). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Прочитайте це для отримання додаткового пояснення алгебри.

— Грінпаркер
джерело

Чи не могли б ви уточнити , що таке «алгебра» ви використовуєте при прийнятті умов від LHS від

до ГРЗ?

\sim

$\sim$

— mavavilj

Я уточнив алгебру. Більшість із них використовують властивості дисперсії та очікування.

— Грінпаркер

Чому немає, наприклад, другого члена

стати

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

?

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

3

Тому що

. Інтуїтивно, додавання постійного числа до випадкової величини не змінює його дисперсії.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Грінпаркер

10

Найпростіше це побачити, переглядаючи середнє значення та дисперсію випадкової величини . $\bar X_n$

Отже, стверджує, що середнє значення дорівнює нулю, а дисперсія - одна. Отже, маємо на увазі: $\mathcal{N}(0,1)$

Використовуючи, де- константи, отримуємо:

Е [\sqrt{н} \frac{{\bar{Х}}_{н} - мк}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{Х}}_{н} \approx мк

$\bar{X}_n\approx\mu$

Тепер, використовуючи , де - константи, ми отримаємо для дисперсії таке: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Вар [\sqrt{н} \frac{{\bar{Х}}_{н} - мк}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Вар [{\bar{Х}}_{н}] \approx \frac{σ^{2}}{н}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

$\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Аксакал
джерело

4

$\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} М_{τ Z + мк} (т) & = М_{Z} (τ т) М_{мк} (т) \\ = е^{т^{2} τ^{2} / 2} е^{т мк} \\ = е^{т^{2} τ^{2} / 2 + т мк} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
джерело

Чому функція, що генерує момент, доводить це для розподілу?

— mavavilj

1

Це результат від ймовірності. Якщо дві випадкові величини мають однакову функцію генерування моменту, то вони розподілені однаково.

— dsaxton