Чи є платоподібний розподіл?

30

Я шукаю розподіл, де щільність ймовірності швидко зменшується через деяку точку від середньої, або, власними словами, «платоподібний розподіл».

Щось між Гауссом та мундиром.

distributions normal-distribution uniform

— dontloo
джерело

8

Ви можете підсумовувати гауссовий RV і рівномірний RV.

— StrongBad

3

Іноді чують про так звані платикуртичні розподіли.

— JM не є статистиком

53

Ви можете шукати розподіл, відомий під назвами узагальненого нормального (версія 1) , розподілу суботинів або експоненціального розподілу потужності. Параметризується розташуванням , шкалою та формою з pdf $\mu$ $\sigma$ $\beta$

\frac{β}{2 σ Γ (1 / β)} \exp [- {(\frac{| x - μ |}{σ})}^{β}]

$\frac{\beta}{2\sigma\Gamma(1/\beta)} \exp\left[-\left(\frac{|x-\mu|}{\sigma}\right)^{\beta}\right]$

як ви можете помітити, для він нагадує і переходить до розподілу Лапласа, при він переходить до нормального, а коли до рівномірного розподілу. $\beta=1$ $\beta=2$ $\beta = \infty$

Якщо ви шукаєте програмне забезпечення, яке його реалізувало, ви можете перевірити normalpбібліотеку на R (Mineo та Ruggieri, 2005). У цьому пакеті приємно те, що він, серед іншого, реалізує регресію з узагальненими нормально розподіленими помилками, тобто мінімізацією норми . $L_p$

Mineo, AM, & Ruggieri, M. (2005). Програмний інструмент для експоненціального розподілу енергії: пакет normalp. Журнал статистичного програмного забезпечення, 12 (4), 1-24.

— Тім
джерело

20

@ Коментар StrongBad - це дійсно гарна пропозиція. Сума рівномірного RV і Gaussian RV може дати вам саме те, що ви шукаєте, якщо правильно вибрати параметри. І це насправді має досить приємне рішення закритої форми.

Pdf цієї змінної задається виразом:

\frac{1}{4 a} [e r f (\frac{x + a}{σ \sqrt{2}}) - e r f (\frac{x - a}{σ \sqrt{2}})]

$\dfrac{1}{4a}\left[\mathrm{erf}\left(\dfrac{x+a}{\sigma\sqrt{2}}\right)-\mathrm{erf}\left(\dfrac{x-a}{\sigma\sqrt{2}}\right) \right]$

- "радіус" нульової середньої рівномірної RV. - стандартне відхилення нульового середнього гауссова RV. $a$ $\sigma$

— Стів Кокс
джерело

3

Довідка: Bhattacharjee, GP, Pandit, SNN, і Mohan, R. 1963. Розмірні ланцюги, що включають прямокутні та нормальні розподіли помилок. Технометрія, 5, 404–406.

— Тім

15

Існує нескінченна кількість «платоподібних» розподілів.

Ви були після чогось більш конкретного, ніж "між гауссом і мундиром"? Це дещо розпливчасто.

Ось один простий: ви завжди можете дотримуватися пів-нормального на кожному кінці форми:

Ви можете керувати "шириною" рівномірного відносно шкали нормальної, щоб ви мали ширші або вужчі плато, даючи цілий клас розподілів, до складу яких входять гауссові та уніформа як обмежуючі випадки.

Щільність:

$\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu+w/2)^2} \mathbb{I}_{x\leq \mu-w/2} \\ + \:\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma}\quad\mathbb{I}_{\mu-w/2< x\leq \mu+w/2} \\ + \frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-w/2)^2} \mathbb{I}_{x > \mu+w/2}$

$h = \frac{1}{1 + w/(\sqrt{2\pi}\sigma)}$

$\sigma \to 0$ $w$ $(\mu-w/2,\mu+w/2)$ $w \to 0$ $\sigma$ $N(\mu,\sigma^2)$

$\mu=0$

Ми можемо, можливо, назвати цю щільність "обмундированою Гауссом".

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

1

Ага! Я люблю відвідувати урочисті бали, одягнені в гаусівську форму; ;)

— Олексій

7

Дивіться мою дистрибуцію "Башта диявола" тут [1]:

$f(x) = 0.3334$ $|x| < 0.9399$
$f(x) = 0.2945/x^2$ $0.9399 \leq |x| < 2.3242$
$f(x) = 0$ $2.3242 \leq |x|$

Розподіл "ковзання" ще цікавіший.

Легко сконструювати розподіли, що мають форму, яку ви хочете.

[1]: Westfall, PH (2014)
«Куртоз як пік, 1905 - 2014. RIP»
Am. Стат. 68 (3): 191–195. doi: 10.1080 / 00031305.2014.917055
публічний доступ pdf: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/pdf/nihms-599845.pdf

— Пітер Вестфалл
джерело

Привіт Пітер - я взяв на себе можливість надавати функцію та вставити зображення, а також дати повну інформацію. (Якщо пам'ять слугує, я думаю, що Кендалл і Стюарт дають деталі подібного розвінчання в їх класичному тексті. Якщо я пам’ятаю правильно - минуло давно - я вважаю, що вони також обговорюють, що це не великі хвости)

— Glen_b -Встановити Моніку

Спасибі, Glen_b. Я ніколи не казав, що куртоз вимірює те, що вимірюють показники хвостових показників. Швидше, моя стаття доводить, що куртоз для дуже широкого класу розповсюджень майже дорівнює E (Z ^ 4 * I (| Z |> 1)). Таким чином, куртоз чітко нічого не говорить про "пік", який зазвичай зустрічається в діапазоні {Z: | Z | <1}. Це, скоріше, визначається хвостами. Назвіть це E (Z ^ 4 * I (| Z |> 1)), якщо термін "важкий хвостик" має інше значення.

— Пітер Вестфалл

Також @Glen_b про який індекс хвоста ви посилаєтесь? Їх нескінченно багато. Хвостові переправи не визначають "хвостовість" належним чином. Згідно з деякими визначеннями схрещування хвоста, N (0,1) є більш "важкохвостим", ніж .9999 * U (-1,1) + .0001 * U (-1000,1000), хоча останній очевидно, більш важкий хвіст, незважаючи на те, що він має кінцеві хвости. І, BTW, останній має надзвичайно високий куртоз, на відміну від N (0,1).

— Пітер Вестпад

Я не можу знайти, щоб я говорив "індекс хвоста" в будь-якому місці свого коментаря; Я не зовсім впевнений, на що ви звертаєтесь там, коли ви говорите "на який індекс хвоста ви маєте на увазі". Якщо ви маєте на увазі шматочок про важку хворобу, найкраще зробити це перевірити, що насправді говорять Кендалл і Стюарт; Я вважаю, що вони насправді порівнюють асимптотичне співвідношення густин для симетричних стандартизованих змінних, але, можливо, це були функції виживання; справа була їхня, а не моя

— Glen_b -Встановити Моніку

Дивно. Ну, в будь-якому випадку, Кендалл і Стюарт помилилися. Куртоз, очевидно, є мірою ваги хвоста, як підтверджують мої теореми.

— Пітер Вестпад

5

$f(x)$

f (x) = k \frac{1}{1 + x^{2 a}} for x \in R

$f(x) = k \frac{1}{1 + x^{2 a}} \quad \quad \text{for } x \in \mathbb{R}$

де:

$a$
$k$ $k = \frac{a}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{2 a}\right)$

$a$

.

$a$

— вовки
джерело

3

Ще один ( EDIT : я спростив його зараз. EDIT2 : я ще більше спростив його, хоча тепер малюнок насправді не відображає цього точного рівняння):

f (x) = \frac{1}{3 \cdot α} \cdot \log (\frac{\cosh (α \cdot a) + \cosh (α \cdot x)}{\cosh (α \cdot b) + \cosh (α \cdot x)})

$f(x) = \frac{1}{3 \cdot \alpha} \cdot \log{\left( \frac{\cosh{\left(\alpha \cdot a\right)}+ \cosh{\left(\alpha \cdot x\right)}} {\cosh{\left(\alpha \cdot b\right)}+ \cosh{\left(\alpha \cdot x\right)}} \right)}$

$\log(\cosh(x))$ $x$

$alpha$ $a = 2$ $b = 1$

Ось приклад коду в R:

f = function(x, a, b, alpha){
  y = log((cosh(2*alpha*pi*a)+cosh(2*alpha*pi*x))/(cosh(2*alpha*pi*b)+cosh(2*alpha*pi*x)))
  y = y/pi/alpha/6
  return(y)
}

fнаш розподіл. Давайте побудуємо його для послідовностіx

plot(0, type = "n", xlim = c(-5,5), ylim = c(0,0.4))
x = seq(-100,100,length.out = 10001L)

for(i in 1:10){
  y = f(x = x, a = 2, b = 1, alpha = seq(0.1,2, length.out = 10L)[i]); print(paste("integral =", round(sum(0.02*y), 3L)))
  lines(x, y, type = "l", col = rainbow(10, alpha = 0.5)[i], lwd = 4)
}
legend("topright", paste("alpha =", round(seq(0.1,2, length.out = 10L), 3L)), col = rainbow(10), lwd = 4)

Вихід консолі:

#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = NaN" #I suspect underflow, inspecting the plots don't show divergence at all
#[1] "integral = NaN"
#[1] "integral = NaN"

І сюжет:

Ви можете змінити aі b, приблизно початок і кінець схилу відповідно, а потім додатково нормалізації були б необхідні, і я не розрахував його (саме тому я використовую a = 2і b = 1в сюжеті).

— Firebug
джерело

2

Якщо ви шукаєте щось дуже просте, із центральним плато та сторонами розподілу трикутника, ви можете, наприклад, поєднати N розподілів трикутників, N залежно від бажаного співвідношення між плато та спуском. Навіщо трикутники, адже їх функції вибірки вже існують у більшості мов. Ви випадково сортуєте один із них.

У R це дало б:

library(triangle)
rplateau = function(n=1){
  replicate(n, switch(sample(1:3, 1), rtriangle(1, 0, 2), rtriangle(1, 1, 3), rtriangle(1, 2, 4)))
}
hist(rplateau(1E5), breaks=200)

— агенти
джерело

2

Ось досить: продукт двох логістичних функцій.

(1/B) * 1/(1+exp(A*(x-B))) * 1/(1+exp(-A*(x+B)))

Це має перевагу в тому, що не бути кусочно.

B регулює ширину, а A регулює крутизну падіння. Нижче показано B = 1: 6 при A = 2. Примітка. Я не знайшов часу, щоб зрозуміти, як правильно це нормалізувати.

— Аджвіллі
джерело