Ще одне питання про центральну межу теореми

11

Нехай $\{X_n:n\ge1\}$ - послідовність незалежних випадкових величин Бернуллі з
$P {X_{k} = 1} = 1 - P {X_{k} = 0} = \frac{1}{k} .$ $P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$ Встановіть $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - \frac{1}{k}), B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{k^{2}}$ $S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$ Покажіть, що $\frac{S_n}{B_n}$ перетворюється в розподілі до стандартної нормальної змінної $Z$ оскільки $n$ прагне до нескінченності.

Моя спроба - використовувати CLT Ляпунова, тому нам потрібно показати, що існує $\delta>0$ такий, що

lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E [| X_{k} - \frac{1}{k} |^{2 + δ}] = 0.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$

Тому задайте $\delta=1$ і

\sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - k^{- 1} |}^{3} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{2}{k^{4}})

$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$

B_{n}^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}}) \sqrt{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}})}

$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$

Оцінюючи великі n на комп’ютері, видно, як обидва і як . Але зростає швидше, ніж тому $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ $B_n^3 \to \infty$ $n \to \infty$ $B_n^3$ $B_n^2$ . Чи може хтось допомогти мені довести, що ця конвергенція дотримується? $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$

probability convergence central-limit-theorem

— TiffanyButterfly
джерело

7

Це приклад 27.3 ймовірності та міри Патріка Біллінглі.

— Zhanxiong

10

Це може бути повчальним продемонструвати цей результат на основі перших принципів та основних результатів , використовуючи властивості кумулятивних функцій, що генерують (саме як у стандартних доказах теореми центрального граничного рівня). Це вимагає від нас розуміння швидкості приросту узагальнених гармонічних чисел для Ці темпи росту добре відомі та легко отримуються порівняно з інтегралами

H (n, s) = \sum_{k = 1}^{н} к^{- с}

$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$

s = 1, 2, \dots .

$s=1, 2, \ldots.$

: вони сходяться для

і інакше розходяться логарифмічно для

.

\int_{1}^{n} x^{- s} d x

$\int_1^n x^{-s}dx$

s > 1

$s \gt 1$

s = 1

$s=1$

Нехай і . За визначенням, функція генерації кумулянта (cgf) є $n \ge 2$ $1 \le k \le n$ $(X_k - 1/k)/B_n$

ψ_{k, n} (t) = \log E (\exp (\frac{X_{k} - 1 / k}{B_{n}} t)) = - \frac{t}{k B_{n}} + \log (1 + \frac{- 1 + \exp (t / B_{n})}{k}) .

$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$

Серія розширення правої частини, отримана від розширення навколо , приймає форму $\log(1+z)$ $z=0$

ψ_{k, n} (t) = \frac{(k - 1)}{2 k^{2} B_{n}^{2}} t^{2} + \frac{k^{2} - 3 k + 2}{6 k^{3} B_{n}^{3}} t^{3} + \dots + \frac{k^{j - 1} - \dots \pm (j - 1)!}{j! k^{j} B_{n}^{j}} t^{j} + \dots .

$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$

Чисельниками дробів є многочлени в з провідним членом . Тому що розширення журналу конвергується абсолютно для $k$ $k^{j-1}$ , це розширення конвергується абсолютно коли $\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

| \exp (t / B_{n}) - 1 | < k .

$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$

(У випадку воно сходиться скрізь.) Для фіксованого і збільшення значень (очевидно) розбіжність означає, що область абсолютної конвергенції зростає довільно великою. Таким чином, для будь-якого фіксованого і досить великого це розширення зближується абсолютно. $k=1$ $k$ $n$ $B_n$ $t$ $n$

Отже, для досить великого , отже, ми можемо підсумовувати індивідуальну по за терміном в потужностях щоб отримати cgf , $n$ $\psi_{k,n}$ $k$ $t$ $S_n/B_n$

ψ_{n} (t) = \sum_{k = 1}^{n} ψ_{k, n} (t) = \frac{1}{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{B_{n}^{j}} (\sum_{k = 1}^{n} (k^{- 1} - \dots \pm (j - 1)! k^{- j})) \frac{t^{j}}{j} + \dots .

$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$

$k$

b (s, j) = \frac{1}{B_{n}^{j}} \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$

$j \ge 3$ $s=1, 2, \ldots, j$

Б_{н}^{2} = Н (н, 1) - Н (н, 2) \sim журнал (н)

$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$

що

б (1, j) \sim (журнал (н))^{1 - j / 2} \to 0

$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$

$s \gt 1$

б (с, j) \sim (журнал (н))^{- j / 2} \to 0

$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$

$n$ $\psi_n(t)$ $t^2$ $\psi_n(t)$ $t^2/2$ $t$ $S_n/B_n$ $t^2/2$ : це стандартна змінна норма, QED .

$t^j$ $O(n^{1-j/2})$ $j \ge 3$ $O(((\log(n))^{1-j/2})$

$10^5$ $n$ $n=1000$ $(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$ $0.35$ $(\log(n))^{-1/2}$ $t^3$

Ось Rкод для тих, хто хотів би експериментувати далі.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— дзижчати
джерело

6

Ви вже маєте чудову відповідь. Якщо ви хочете також додати власний доказ, ви можете заперечити так:

$\sum_{k=1}^n 1/k^i$ $i>1$ $i = 1$

\begin{aligned} S (n) := \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{3}{k^{4}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) . \end{aligned}

$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$

Цим же аргументом

B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) .

$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$

$S(n) / B_n^2 = O(1)$

S (n) / B_{n}^{3} = O (1) (B_{n}^{2})^{- 1 / 2} \to 0,

$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$

що ми хотіли показати.

— еквалл
джерело

2

$k$ ;)

$B_n$

великі літери зазвичай зарезервовані для випадкових змінних.
$\sigma$

Тоді щодо питання, я не знаю, чи це вправа чи дослідження та які інструменти ви можете використовувати. Якщо ви не намагаєтесь повторно довести відомі теореми, я б просто сказав, що це центральна гранична теорема для незалежних не ідентично розподілених, але рівномірно обмежених RV, і називати це щодня. У мене немає хорошого джерела, але знайти його не слід дуже важко, наприклад, подивіться на /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- для обмежених-неідентично розподілених-випадкових .

\sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2} \to \infty

$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$

— Адрієн
джерело